求轨迹方程的常用方法(例题及变式).docx
求轨迹方程的常用方法:题型一直接法此法是求轨迹方程最根本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件MP(M)直接翻译成x,y的形式/(,y)=O,然后进行等价变换，化简F(X,y)=0,要注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外(纯粹性)；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)。例1过点A(2,3)任作互相垂直的两直线4M和AN,分别交x,y轴于点M,N,求线段MN中点P的轨迹方程。解：设尸点坐标为P(X,y),由中点坐标公式及M,N在轴上得M(0,2y),N(2x,0)(%yR)0-37v-3.-=(xl),化简得4x+6y13=0(xl)2x-20-23当x=l时，M(0,3),N(2,0),此时MN的中点P(Iq)它也满足方程4x+6y-13=0,所以中点P的轨迹方程为4x+6y-13=0,变式1动点M(X,y)到直线/:X=4的距离是它到点N(Lo)的距离的2倍。(1) 求动点M的轨迹。的方程；(2) 过点P(0,3)的直线机与轨迹。交于A3两点。假设4是心的中点，求直线加的斜率。题型二定义法圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。例2动圆M过定点尸(-4,0),且与圆C:1+y2-8x=0相切，求动圆圆心M的轨迹方程。解：根据题意IlMCl-1MPll=4,说明点用到定点。、尸的距离之差的绝对值为定值，故点M的轨迹是双曲线。a=2,c=4y2故动圆圆心M的轨迹方程为2-=1412变式2在ZVWC中，5C=24AGAB上的两条中线长度之和为39,求ZVWC的重心的轨迹方程.解：以线段BC所在直线为X轴，线段Be的中垂线为)，轴建立直角坐标系，如图1,M为重心，那么有忸M+CM=39=26.M点的轨迹是以8C为焦点的椭圆，比务l-2()12i其中C=I2»=13.*b=ya2-C2=5.图所求AABC的重心的轨迹方程为+=l(yO)16925题型三相关点法此法的特点是动点M(x,y)的坐标取决于曲线C上的点(x,y')的坐标，可先用x,y来表示x',y',再代入曲线C的方程/(x,y)=0,即得点M的轨迹方程。例3如图，从双曲线/一y?二上一点。引直线1+丫=2的垂线，垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程分析：从题意看动点P的相关点是Q,0在双曲线上运动，所以此题适合用相关点法。解：设动点P的坐标为(x,y),点。的坐标为(M,弘)，那么点N的坐标为(2x-jq,2y-M):N在直线x+y=2上，.,.2x-xl+2丁一必=2又P0垂直于直线x+y=2,-=1,即Xy+必一X=0X-X1由解得, 必311=-x+-y-22'131=-x+-y-22又点Q在双曲线-y?=i上，.22一%2=i代入，得动点P的轨迹方程为2x2-2y2-2x+2y-l=0变式3ZA8C的顶点8(-30),C(LO),顶点A在抛物线y=2上运动，求AABC的重心G的轨迹方程.解：设 Ga y) , A(, y0),由重心公式，得-3 +1 + /=11 93=3.xq =3x+2, ) JO= 3»又 A(Xo, %)在抛物线y=/上，%=%.将，代入,得3y=(3x+2)2(y0),即所求曲线方程是y=3f+4x+*0).题型四参数法选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标x,y,得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程,选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，然后在选取适宜的参数，因为参数不同，会导致运算量的不同，常见的参数有截距、角度、斜率、线段长度等。例4线段R=幼，直线/垂直平分Av于O,在/上取两点P,严，使有向线段OHOP满足0P0P'=4,求直线AP与AP1的交点M的轨迹方程.解：如图2,以线段44,所在直线为X轴，以线段AV的中垂线为y轴建立直角坐标系.设点PQr)(f0),那么由题意，得P(O,；).11y由点斜式得直线ARA'P的方程分别为y=±*+),y=-(-a).QtaA0|Arx两式相乘，消去，得42+y2=4("0).图2这就是所求点"的轨迹方程.变式4设椭圆方程为/+3=1,过点M(0,1)的直线/交椭圆于点A,B,。是坐标原点，/上的动4点P满足而=g(E+无)，点N的坐标为(g,g),当/绕点N旋转时，求：(1)动点P的轨迹方程；(2)I而I的最小值与最大值.分析：(1)设出直线/的方程，与椭圆方程联立，求出芭+看,+内，进而表示出点P坐标，用消参法求轨迹方程；(2)将|7而I表示成变量X的二次函数。解：(1)法一：直线/过点M(0,1),当/的斜率存在时，设其斜率为上，那么/的方程为y=入+1。设(x1,y1),B(x2,y2),由题设可列方程为y=kx+1一+?=1将代入并化简得：(4+/)/+2求一3=0,再+“一2k4+F84+公于是而=_1(豆+而)=(士士22'+为k 42 LJ + /Z + Q设点P的坐标为(%,y),那么消去参数上得42+y2-y=O当直线/的斜率不存在时，Af3的中点坐标为原点(0,0),也满足方程,所以点P的轨迹方程为4/+-y=0o法二：设点P的坐标为(4,y),因4(范，弘)，8(尤2，月)在椭圆上，所以2x12+-=l4÷=1-4©得：12-x22+(),2-y22)=所以(再+x2)(x,-2)÷-(y1+y2)(y1-y2)=0当Xi。/时，有阳+工2+'(弘+力)=0-4X1-X2x+x22y=2ly-1=yl-y2XX1-X2将代入并整理得4/+-y=0当M=尤2时，点A，B的坐标分别为(0,2)、(0-2),这时点P的坐标为(。,。)，也满足，所以点P的轨迹方程为A与"164(2)由点P的轨迹方程知/J-,即一LJ.1644所以I标2=0-!)2+(y-2)2=(-g2+1-4=-3+32+二,22246121.1故当X=时，INPl取得最小值，最小值为一；44故当X=时，I刖I取得最小值，最小值为6
