材料力学讲义(精).docx

§1-1材料力学的任务1 .几个术语构件与杆件：组成机械的零部件或工程结构中的构件统称为构件。如图ITa所示桥式起重机的主梁、吊钩、钢丝绳；图1-2所示悬臂吊车架的横梁47,斜杆切都是构件。实际构件有各种不同的形状，所以根据形状的不同将构件分为：杆件、板和壳、块体.杆件：长度远大于横向尺寸的构件，其几何要素是横截面和轴线，如图b3a所示，其中横截面是与轴线垂直的截面；轴线是横截面形心的连线。按横截面和轴线两个因素可将杆件分为：等截面直杆，如图l-3a.b；变截面直杆，如图l-3c；等截面曲杆和变截面曲杆如图l-3bo板和壳：构件一个方向的尺寸（厚度）远小于其它两个方向的尺寸，如图IYa和b所示。块体：三个方向（长、宽、高）的尺寸相差不多的构件，如图1-4C所示。在本教程中，如未作说明，构件即认为是指杆件。变形与小变形：在载荷作用下，构件的形状及尺寸发生变化称为变形，如图2所示悬臂吊车架的横梁力反受力后将由原来的位置弯曲到/6'位置，即产生了变形。小变形：绝大多数工程构件的变形都极其微小，比构件本身尺寸要小得多，以至在分析构件所受外力（写出静力平衡方程）时，通常不考虑变形的影响，而仍可以用变形前的尺寸，此即所谓“原始尺寸原理"。如图ITa所示桥式起重机主架，变形后简图如图ITb所示，截面最大垂直位移f一般仅为跨度1的15001/700,B支撑的水平位移那么更微小，在求解支承反力Ra、RH时，不考虑这些微小变形的影响。2 .对构件的三项根本要求强度：构件在外载作用下，具有足够的抵抗断裂破坏的能力。例如储气罐不应爆破；机器中的齿轮轴不应断裂等。刚度：构件在外载作用下，具有足够的抵抗变形的能力。如机床主轴不应变形过大，否那么影响加工精度。稳定性：某些构件在特定外载，如压力作用下，具有足够的保持其原有平衡状态的能力。例如千斤顶的螺杆，内燃机的挺杆等。构件的强度、刚度和稳定性问题是材料力学所要研究的主要内容。3 .材料力学的任务研究构件的强度、刚度和稳定性；2）研究材料的力学性能；3）为合理解决工程构件设计中平安与经济之间的矛盾提供力学方面的依据。构件的强度、刚度和稳定性问题均与所用材料的力学性能有关，因此实验研究和理论分析是完成材料力学的任务所必需的手段。§1-2变形固体及其根本假设在外力作用下，一切固体都将发生鳏，故称为变形固体，而构件一般均由固体材料制成,所以构件一般都是变形固体。由于变形固体种类繁多，工程材料中有金属与合金，工业陶瓷，聚合物等，性质是多方面的，而且很复杂，因此在材料力学中通常省略一些次要因素，对其作以下假设：1 .连续性假设：认为整个物体所占空间内毫无空隙地充满物质。2 .均匀性假设：认为物体内的任何局部，其力学性能相同。3,各向同性假设：认为物体内在各个不同方向上的力学性能相同。§1-3外力及其分类外力是外部物体对构件的作用力，包括外加载荷和约束反力。1 .按外力的作用方式分为：体积力和外表力1）体积力：连续分布于物体内部各点上的力，如物体的自重和惯性力。2）外表力：作用于物体外表上的力，又可分为分布力和集中力。分布力是连续作用于物体外表的力，如作用于船体上的水压力等；集中力是作用于一点的力，如火车轮对钢轨的压力等。2 .按外力的性质分为：静载荷和动载荷1）静载荷：载荷缓慢地由零增加到某一定值后，不再随时间变化，保持不变或变动很不显著，称为静载荷。2）动载荷：载荷随时间而变化。动载荷可分为构件具有较大加速度、受交变载荷和冲击载荷三种情况。交变载荷是随时间作周期性变化的载荷；冲击载荷是物体的运动在瞬时内发生急剧变化所引起的载荷。S 1-5微面法§1-4内力、截面法和应力的概念1.内力由于构件变形，其内部各局部材料之间因相对位置发生改变，从而引起相邻局部材料间因力图恢复原有形状而产生的相互作用力，称为内力。注意：材料力学中的内力，是指外力作用下材料对抗变形而引起的内力的变化量，也就是“附加内力”，它与构件所受外力密切相关。2 .截面法假想用截面把构件分成两局部，以显示并确定内力的方法。如图1-5所示：（1）截面的两侧必定出现大小相等，方向相反的内力；（2）被假想截开的任一局部上的内力必定与外力相平衡。例1-1钻床如图l-6a所示，在载荷尸作用下，试确定截面加一/上的内力。解：（1沿r-R截面假想地将钻床分成两局部。取加一切截面以上局部进行研究（图l-6b）,并以截面的形心。为原点。选取坐标系如下图。（2）为保持上部的平衡，加一切截面上必然有通过点。的内力N和绕点。的力偶矩也（3）由平衡条件因此用截面法求内力可归纳为四个字:1）截：欲求某一截面的内力，沿该截面将构件假想地截成两局部。2）取：取其中任意局部为研究对象，而弃去另一局部。3）代：用作用于截面上的内力，代替弃去局部对留下局部的作用力。4）平：建立留下局部的平衡条件，由外力确定未知的内力。3 .应力参照图1-7,围绕点取微小面积44。根据均匀连续假设，44上必存在分布内力，设它的合力为AF,A尸与½的比值为P.是一个矢量，代表在44范围内，单位面积上的内力的平均集度，称为平均应力。当41趋于零时，Pje的大小和方向都将趋于一定极限，得到P称为点处的（全）应力。通常把应力P分解成垂直于截面的分量b和切于截面的分量T，Cr称为正应力，干称为剪应力。应力即单位面积上的内力，表示某微截面积To处内力的密集程度。应力的国际单位为N"?,且lN11）2=lPa（帕斯卡），1GPa=IGN112=109pa,lMNm2=lMPa=106Nm2=106Pao在工程上，也用kg（f）/cm?为应力单位，它与国际单位的换算关系为1kgcm2o§1-5变形与应变对于构件上任“一点”材料的变形，只有线变形和角变形两种根本变形，它们分别由线应变和角应变来度量。1.线应变E通常用正微六面体（下称微单元体）来代表构件上某“一点”。如图8,微单元体的棱边边长为x2.z,变形后其边长和棱边的夹角都发生了变化。变形前平行于X轴的线段赵邛原长为Ax，变形后材和N分别移到和M,MN，的长度为Ax+根，这里于是表示线段例每单位长度的平均伸长或缩短，称为平均线应变，假设使而趋近于零，那么有一点线应变,薄板刚牲板块图 1-9（8）称为好点沿X方向的线应变或正应变，或简称为应变。线应变，即单位长度上的变形量，为无量纲量，其物理意义是构件上一点沿某一方向线变形量的大小。2.角应变Y如图1-6,正交线段朗V和物经变形后，分别是Mwr和MZJ变形前后其角度的变化是叫，当N和£趋近于"时，上述角度变化的极限值是称为M点在灯平面内的剪应变或角应变。剪应变，即微单元体两棱角直角的改变量，为无量纲量。例1-2图l-9a所示为一矩形截面薄板受均布力夕作用，边长/=40Omlib受力后沿X方向均匀伸长片。试求板中a点沿X方向的正应变。解：由于矩形截面薄板沿X方向均匀受力，可认为板内各点沿X方向具有正应力与正应变，且处处相同，所以平均应变即a点沿X方向的正应变。E齐2方竺=些=125×10<,X方向*I400例1-3图l-9b所示为一嵌于四连杆机构内的薄方板,ZF250mmo假设在夕力作用下切杆下移4试求薄板中a点的剪应变。解：由于薄方板变形受四连杆机构的制约，可认为板中各点均产生剪应变，且处处相同。§1-6杆件的根本变形形式杆件受力有各种情况，相应的变形就有各种形式，在工程结构中，杆件的根本变形只有以下四种：1 .拉伸和压缩：变形形式是由大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的一对力引起的，表现为杆件长度的伸长或缩短。如托架的拉杆和压杆受力后的变形（图IT0）。2 .剪切：变形形式是由大小相等、方向相反、相互平行的一对力引起的，表现为受剪杆件的两局部沿外力作用方向发生相对错动。如连接件中的螺栓和销钉受力后的变形（图IT1）。3 .扭转：变形形式是由大小相等、转向相反、作用而都垂直于杆轴的一对力偶引起的，表现为杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。如机器中的传动轴受力后的变形（图1-12）o4Ut4 .弯曲：变形形式是由垂直于杆件轴线的横向力，或由作用于包含杆轴的纵向平面内的一对大小相等、方向相反的力偶引起的，表现为杆件轴线由直线变为受力平面内的曲线。如单梁吊车的横梁受力后的变形（图1-13）o杆件同时发生几种根本变形，称为组合变形。§2-1轴向拉伸与压缩杆件及实例轴向拉伸和压缩的杆件在生产实际中经常遇到，虽然杆件的外形各有差异，加载方式也不同，但一般对受轴向拉伸与压缩的杆件的形状和受力情况进行简化，计算简图如图2-1。轴向拉伸是在轴向力作用下，杆件产生伸长变形,也简称拉伸；轴向压缩是在轴向力作用下，杆件产生缩短变形，也简称压缩。实例如图2-2所示用于连接的螺栓；如图2-3所示桁架中的拉杆；如图2-4所示汽车式起重机的支腿；如图2-5所示巷道支护的立柱。通过上述实例得知轴向拉伸和压缩具有如下特点：1 .受力特点：作用于杆件两端的外力大小相等，方向相反，作用线与杆件轴线重合，即称轴向力。2 .变形特点：杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。§2-2横截面上的内力和应力1 .内力在图2-6所示受轴向拉力P的杆件上作任一横截面加一如取左段局部，并以内力的合力N代替右段对左段的作用力。由平衡条件XX=0,得N-P=O由于尸0（拉力），那么N=尸0合力N的方向正确。因而当外力沿着杆件的轴线作用时，杆件截面上只有一个与轴线重合的内力分量，该内力（分量）称为轴力，一般用力表示。假设取右段局部，同理ZX=0,知产."=0,得N=尸0图中N的方向也是正确的。材料力学中轴力的符号是由杆件的变形决定，而不是由平衡坐标方程决定。习惯上将轴力N的正负号规定为：拉伸时，轴力”为正；压缩时，轴力”为负。2 .轴力图轴力图可用图线表示轴力沿轴线变化的情况。该图一般以杆轴线为横坐标表示截面位置，纵轴表示轴力大小。例2-1求如图2-7所示杆件的内力，并作轴力图。解：（1）计算各段内力4C段：作截面/一/,取左段局部（图b）。由EX=O得N=5kN（拉力）%段：作截面22,取左段局部（图C）,并假设从2方向如下图。由Ex=O得M+15-5=0那么:川2=TOkN1压力）N?的方向应与图中所示方向相反。（2）绘轴力图选截面位置为横坐标；相应截面上的轴力为纵坐标，根据适当比例，绘出图线。由图2-7可知"段的轴力值最大，=IQkNo注意两个问题：1）求内力时.，外力不能沿作用线随意移动如£沿轴线移动）。因为材料力学中研究的对象是变形体，不是刚体，力的可传性原理的应用是有条件的。2）截面不能刚好截在外力作用点处（如通过C点），因为工程实际上并不存在几何意义上的点和线，而实际的力只可能作用于一定微小面积内。2-9更裁面上的A力提出平面假设。3.轴向拉压杆横截面上的应力1）由于只根据轴力并不能判断杆件是否有足够的强度，因此必须用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。为了求得应力分布规律,先研究杆件变形，为此平面假设：变形之前横截面为平面，变形之后仍保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，如图2-8所示。根据平面假设得知，横截面上各点沿轴向的正应变相同，由此可推知横截面上各点正应力也相同，即b等于常量。2）由静力平衡条件确定b的大小=M那么:b=（2T）A由于加=b%4，所以积分得N=Lai4式中：一横截面上的正应力；N一横截面上的轴力；A正应力。的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。对于图2-9所示斜度不大的变截面直杆，在考虑杆自重（容重r）引起的正应力时，也可应用（2-1）式(2-2)其中砥=尸+:MjX,假设不考虑自例2-2旋转式吊车的三角架如图2T0所示，46杆由2根截面面积为1086cmz的角钢制成,=130kN,北=30°。求力夕杆横截面上的应力。解：（1）计算例杆内力取节点/为研究对象，由平衡条件EP=°,得以sin30。=尸那么Mi3=2产=260kN（拉力）计算四杆应力”等=i三k"=MMPa例2-3起吊钢索如图2T1所示，截面积分别为4=3加，A=4cm2,Z7=2三50m,F=I2kN,材料单位体积重量:L°°28nc11i3,试考虑自重绘制轴力图，并求心。解：（1）计算轴力4?段：取11截面M=尸+M（04x/"/）用段：取22截面§3-1剪切及其实用计算1.工程上的剪切件1通过如图3-1所示的钢杆受剪和图3-2所=Q示的联接轴与轮的键的受剪情况，可以看1）受力特点V1出，工程上的剪切件有以下特点：2）变形特点杆件两侧作用大小相等，方向相反，作用线相距很近的外力。力作用线间截面发生错动，由矩形变为平行四o（见动画：受剪切作用的轴栓）。因此剪切定相距很近的两个平行平面内，分别作用着大小、方向相对（相反）的两个力，当这两个力相行错动并保持间距不变地作用在构件上时，构这两个平行面间的任一（平行）横截面将只有作用，并产生剪切变形。剪切实用计算中，假定受剪面上各点处与剪力Q相平行的剪应力相等，于是受剪面上的剪应力为1弓(3-1)式中：Q-剪力；工一剪切面积；万一名义剪切力。剪切强度条件可表示为:用3-3个R的切面(3-2)A = bio式中：3构件许用剪切应力。剪切面为圆形时，其剪切面积为:对于如图3-3所示的平键，键的尺寸为Sx为X1，其剪切面积为:例3-1电瓶车挂钩由插销联接,如图3-4a。插销材料为20#钢，月=30MPa,直径d=20mm。挂钩及被联接的板件的厚度分别为i=8mm和18=12mm。牵引力R=15kN。试校核插销的剪切强度。解：插销受力如图3-4b所示。根据受力情况，插销中段相对于上、下两段，沿加一m和一两个面向左错动。所以有两个剪切面，称为双剪切。由平衡方程容易求出插销横截而上的剪应力为故插销满足剪切强度要求。例3-2如图3-8所示冲床，%=40°kN,冲头司=400MPa,冲剪钢板马=36°MPa,设计冲头的最小直径值及钢板厚度最大值。d 2 所以7=g=公司解：(1)按冲头压缩强度计算d丁3"(2)按钢板剪切强度计算tA 就"所以Z <-=1.04万马 cm0§3-2挤压及其实用计算图3-5例钉孔挤压困E：联接和被联接件接触面相互压紧的现象，如图3-5：挤压面面积在垂直于总挤压力作用线平面,以产表示挤压面上传递的力，4,表示挤压面积,4(3-3)式中：巧一材料的许用挤压应力，一般% = （172）同对于圆截面：4，=成，如图3-6C所示。对于平键：5",如图3-7所示。例3-3截面为正方形的两木杆的樨接头如下图。木材的顺纹许用挤压应力1%=8肠%, 顺纹许用剪切应力3 = 1朋外,顺纹许用拉应力%='°MBL假设P=40kN,作用于正方 形形心，试设计b、a及L解：L 顺纹挤压强度条件为2.顺纹剪切强度条件为,、P 40×103,1.W > = 4°又半=400XlO-力(a) H O6(b)3.顺纹拉伸强度条件为"畀瑞JS联立（a）、（b）、（c）式，解得例3-42.5w,挖掘机减速器的一轴上装一齿轮，齿轮与轴通过平键连接，键所受的力为P=o平键的尺寸为：b=28mm,h=16mm,=70mm,圆头半径R=I4mm（图310）。键的许用切应力月=87MPa,轮毂的许用挤压应力取=100MPa,试校核键连接的强度。解：（1）校核剪切强度键的受力情况如图3IOc所示，此时剪切面上的剪力（图3-1Od）为Q=P=I2,IkN=12100N故剪切面面积为所以，平键的工作切应力对于圆头平键，其圆头局部略去不计（图3IOe），_12100rNH,7×10=0.3×106Pa=10.3MPa三87MPa满足剪切强度条件。图43外力值短的计算（2）校核挤压强度与轴和键比拟，通常轮毂抵抗挤压的能力较弱。轮毂挤压面上的挤压力为P=12100No挤压面的面积与键的挤压面相同，设键与轮毂h的接触高度为5,那么挤压面面积（图31Of）为_P_12100故轮毂的工作挤压应力为外336×103=对义"Pa=36MPa<%=£00一以也满足挤压强度条件。所以,此键平安。§4-1扭转及其工程实例工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如图4T所示的攻丝丝锥，图4-2所示的桥式起重机的传动轴以及齿轮轴等。扭转有如下特点：1 .受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶一一扭转力偶。其相应内力分量称为扭矩。2 .变形特点：横截而绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。假设杆件横截面上只存在扭矩一个内力分量，那么这种受力形式称为纯扭转。§4-2扭矩和扭矩图1 .外力偶矩加如图4-3所示的传动机构,通常外力偶矩那不是直接给出的,而是通过轴所传递的功率Nr和转速n由以下关系计算得到的。%(4-la)A.电j一人如轴在m作用下匀速转动，角，那么力偶做功为力=冽，由功率定义国4-4叔妊Rdd/dtdto角速度/与转速n(单位为转/分，即rmin)。关系为勿=2m60(单位为弧度/秒，rads)。由于IkW=IOoON-ms,Nr千瓦的功率相当于每秒钟作功W=IOoOxR,单位为N-m；而外力偶在1秒钟内所作的功为犷=加/=2加加/60(Nm)由于二者作的功应该相等，那么有NXIooo=20洲/60由此便得(4-1)式。式中：儿一传递功率(千瓦，kW)盟一转速(rmin)Nm=7024如果传递功率单位是马力(PS),由于Nms,那么有n(Nm)(4-1b)式中：儿一传递功率(马力,PS)力一转速(rmin)2 .扭矩丁求出外力偶矩加后，可进而用截面法求扭转内力一一扭矩。如图4-4所示圆轴，由2%=0,从而可得AA截面上扭矩TT-m=QfT=mT称为截面力T上的扭矩；扭矩的正负号规定为：按右手螺旋法那么，T矢量离开截面为正，指向截面为负。或矢量与横截而外法线方向一致为正，反之为负。例4-1传动轴如图4-5己所示，主动轮力输入功率此I=50马力，从动轮从C、输出功率分别为丛3=腔=15马力，ND=20马力,轴的转速为符=300r/min。试画出轴的扭矩图。R! 4-6Ff / 口wiiffl(C)IllnInlnInnOj351 Nrn Illlnillll702 NtnNzmliH 川 Ill 川 i 702Nm I l7ONmw=7024-=1170Nm解：按外力偶矩公式计算出各轮上的外力偶矩阀从受力情况看出，轴在比;4?三段内，各截面上的扭矩是不相等的。现在用截面法，根据平衡方程计算各段内的扭矩。在a'段内，以不表示截面/一/上的扭矩，并任意地把Zr的方向假设为如图4-56所示。由平衡方程%=°,有7J+%=0得看=-W3=-351N,m负号说明，实际扭矩转向与所设相反。在8。段内各截面上的扭矩不变，所以在这一段内扭矩图为一水平线（图4-5e）。同理，在。段内，由图4-5c,得%+加c+冽3=°.与=WC-b=-702N'm在49段内（图4-5d）,%一也。=°；Tln=m>=468Nm与轴力图相类似，最后画出扭矩图如图4-5e其中最大扭矩发生于。段内，且QX=702Nmo对上述传动轴，假设把主动轮4安置于轴的一端（现为右端），那么轴的扭矩图如图4-6所示。这时，轴的最大扭矩仆=lr70Nm0显然单从受力角度，图击5所示轮子布局比图4-6合理。§4-3薄壁圆筒的扭转当空心圆筒的壁厚£与平均直径（即2力之比力41/2。时称为薄壁圆筒.1.剪应力与剪切互等定理假设在薄壁圆筒的外外表画上一系列互相平行的纵向直线和横向圆周线，将其分成一个个小方格，其中代表性的一个小方格如图4-7a所示。这时使筒在外力偶现作用下扭转，扭转后相邻圆周线绕轴线相对转过一微小转角。纵线均倾斜一微小倾角？从而使方格变成菱形（见图4-7b）,但圆筒沿轴线及周线的长度都没有变化。这说明，当薄壁圆筒扭转时，其横 4-7 WtoAfW截面和包含轴线的纵向截面上都没有正应力,横截面上只有切于截面的剪应力口因为筒壁的厚度。很小，可以认为沿筒壁厚度剪应力不变，又根据圆截面的轴对称性，横截面上的剪应力汇沿圆环处处相等。根据如图4-7C所示局部的平fn衡方程W=°,有阳=2E;尸2尸”（4-2）如图4-7d是从薄壁圆筒上取出的相应于4-7a上小方块的单元体，它的厚度为壁厚t,宽度和高度分别为以，力。当薄壁圆筒受扭时，此单元体分别相应于p-p,qp圆周面的左、右侧面上有剪应力g因此在这两个侧面上有剪力磔z,而且这两个侧面上剪力大小相等而方向相反，形成一个力偶，其力偶矩为（纳7）公。为了平衡这一力偶，上、下水平面上也必须有一对剪应力V作用（据jz=°,也应大小相等，方向相反）。对整个单元体，必须满足2%=0,即所以 = / (4-3)A 4-8力5艮型他上式说明，在一对相互垂直的微面上，垂直于交线的剪应力应大小相等，方向共同指向或背离交线。这就是剪应力互等定理。图表-7d所示单元体称纯剪切单无体。2.剪应变与剪切胡克定律与图4-7b中小方格（平行四边形）相对应，图4-7e中单元体的相对两侧面发生微小的相对错动，使原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量？，此直角的改变量称为剪应变或角应变。如图4-7b所示假设。为圆筒两端的相对扭转角，/为圆筒的长度，那么剪应丫=2变？为I4-4）薄圆筒扭转试验说明，在弹性范围内，剪应变？与剪应力汇成正比，即k=G?（4-5）式（4-5）为剪切胡克定律；G称为材料剪切弹性模量，单位：GPao对各向同性材料，弹性常数民"G三者有关系2(1+*)(4-6)3.变形能与比能假设从薄壁圆筒中取出受纯剪切的单元体如图4-8所示，由于变形的相对性，可设单元体左侧面不动，右侧面上的剪力由零逐渐增至的曲，右侧面因错动沿汇方向的位移由零增至小。因此剪力所作的功为M=C的心"取dW等于单元体内储存的变形能d/,故剪切单元体的变形能为=dW=(/力力(4-7)其中三M0dUfr.,以单元体的体积d/除dt得单位体积内的剪切变形能，即比能为dV上对图4-8所示线弹性情况，当剪应力汇在剪切比例极限以内时，LG?,有u=-rrsz=-G2'2G2'(4-8a)dU二、tdV对图4-8所示线弹性关系(比例极限以内)，有2对图4-7b所示受扭薄壁圆筒,由于其剪应力与剪应变均处处相同，那么整个圆筒的变形能为.1r1wr/,1.Ur,VT-',2Z=-W/2=22万I2(4-8b)§4-4圆轴扭转时的应力和强度条件平面假设及变形几何关系如图4-9a所示受扭圆轴，与薄圆筒相似，如用一系列平行的纵线与圆周线将圆轴外表分成一个个小方格，可以观察到受扭后外表变形有以下规律：（1）各圆周线绕轴线相对转动一微小转角，但大小，形状及相互间距不变；（2）由于是小变形，各纵线平行地倾斜一个微小角度7,认为仍为直线；因而各小方格变形后成为菱形。平面假设：变形前横截面为动了扭转角cl, 纵线ab倾斜小cd根据平面假图4-9a取出图4-9b所示微段 dx ,其中两截 面pp, qq相对转见图4-9C）由于图4-10剪应力分布图d 于是丫,二Q石圆形平面，变形后仍为圆形平面，只是各截；面绕轴线相对“刚性地”转了一个角度。从角度？成为ab',而在半径，,（荷）处的纵线设，转过d/后成为cd'（其相应倾角为益,是小变形，从图4-9C可知：dd'=rax=似畲。(a)对于半径为R的圆轴外表（见图4-9b）,那么为dx（b）物理关系与受扭薄壁圆筒相同，在半径为Q处截出厚为d灯的薄圆筒（图4-9b）,用一对相距dy而相交于轴线的径向面取出小方块（正微六面体）如图4-9C此为受纯剪切单元体。r=nG=GP由剪切胡克定理和式S）得0°以（c）这说明横截面上任意点的剪应力G与该点到圆心的距离成正比，即oc/当=0；当/=氏，G取最大值。由剪应力互等定理，那么在径向截面和横截面上,沿半径剪应力的分布如图4-10oT=rdA在图4T1所示平衡对象的横截面内，有3=2小区巴扭矩1,由力偶矩平衡条件2%=°,得.Z1.=f,dA,八、令yJ4(4-9)此处ddx为单位长度上的相对扭角，对同一横截面，它应为不变量。4为几何性质量,只与圆截面的尺寸有关，称为极惯性矩；单位为m'或CnIL汕时_TTQT=G-Iv石=KT-rp那么dx"或以W(4_10)o将(4-10)式代回式，得(4-11)TRTI那么在圆截面边缘上，夕为最大值五时，得最大剪应力为人版(4T2)此处t'R(4-13)冏称为抗扭截面系数,单位为?或CnI二三-<d由此得圆轴扭转强度条件BaX%(4-14)注意到此处许用剪应力汇不同于剪切件计算中的剪切许用应力。它由危险剪应力石除以平安系数n得到，与拉伸时相类似：JTb由相应材料的扭转破坏试验获得，大量试验数据说明，它与相同材料的拉伸强度指标有如下统计关系：塑性材料广(03OS)、脆性材料为=(0,810)外4.4、冏计算对实心圆轴力=2Wd。对空心圆轴%£/眼=族,42题夕=4 -他4 一力_ 0 D/2 - _16D16(4-15)苗4 -34)的八八-(1 - a )3232 ''=%(4-16)例4-24/轴传递的功率为N=7.5kW,转速力=360rmn。如图4-12所示，轴然段为实心圆截面，"段为空心圆截面。D=3cm,d=2cm0试计算47以及终段的最大与最小剪应力。解：(1)计算扭矩轴所受的外力偶矩为由截面法(2)计算极惯性矩力。段和以段轴横截面的极惯性矩分别为(3)计算应力IC段轴在横截面边缘处的剪应力为"段轴横截面内、外边缘处的剪应力分别为§4-5圆轴扭转时的变形和刚度条件d=-扭转角是指受扭构件上两个横截面绕轴线的相对转角。对于圆轴，由式(4-10)GIJl所以1歹J。斗¾(rad)417)式中出。称为圆轴的抗扭刚度，它为剪切模量与极惯性矩乘积。改尸越大，那么扭转角力越QXd%x,为单位长度相对扭角，那么有TSy (radm)扭转的刚度条件:GI(radm) (4-18)(-)4214 4 N m 例*3 如图 4-13 的传动轴，« = 500 rmin,7024N m M= 200马力，招=300马力，月=70卜%,图4T3GPao求：确定期和。段直径。(4-19)M= 500马力，。=1。m, G = 80解：D计算外力偶矩啊=7024 组= 7024n(N m)W =7024 处= 2809.6n(N m)Wc. =7024 ”= 42144n(N m)作扭矩T图，如图4T3b所示。T6T/=m三T11"-2)计算直径d电四段：由强度条件,j、T7rJ16×7024OC1TOV×70×106"(mm)1.IOUr1,、32T×180i32×7024×180由刚度条件32IG"*"80×109××l(mm)取=84m宛段：同理，由扭转强度条件得B267m111由扭转刚度条件得心274.5mm取心=74.5mm例4-4如图4-14所示等直圆杆，%="Nm,试绘扭矩图。解：设两端约束扭转力偶为加小fnB(1)由静力平衡方程2加，=O得气+羽。一必3=0；%=(a)此题属于一次超静定。(2)由变形协调方程(可解除B端约束)，用变形叠加法有同=肉-羯+羯=°(b)=0即-%+2与-3%=O并考虑到，结果啊一叫一Tr假设的力偶转向正确，绘制扭矩图如图4-14C所示。§4-6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算螺旋弹簧如图4-15a所示。当螺旋角5°时，可近似认为簧丝的横截面与弹簧轴线在同一平面内，一般将这种弹簧称为密圈螺旋弹簧。1.弹簧丝横截面上的应力如图4T5b以簧丝的任意横截面取出密圈弹簧的上局部为研究对象，根据平衡方程，横截CnT-PD面上剪力Q=尸，扭矩20一O=4-由Q引起的剪应力'一7一石7,而且认为五均匀分布于横截面上（图4-15C）；假设将簧丝的受力视为直杆的纯扭转，由T引起的最大剪应力（图4T5d）T_16T_8PDWt寿所以在簧丝横截面内侧A点有图8PD（b）4-16弹簧变影密圈弹簧丝的强度条件是:阳X43(4-238PD,d,3k=I+加(4-20)其中2D(4-21)当略去剪应力万所引起的误差产5%,_8PD可用近似式,"一声（4-22）1."T对某些工程实际问题，如机车车辆中的重弹簧，%的值并不太小，此时不仅要考虑剪力，还要考虑弹簧丝曲率的影响，进一步理论分析和修正系数k的选取可见有关参考书。式中：3弹簧丝材料的许用剪应力2.弹簧的变形设弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，轴线方向的总缩短（或伸长）量为几，这是弹簧的W-P整体的压缩（或拉伸）变形。如图4T6a、b,外力对弹簧做功20簧丝横截面上,距圆心为的任意点的扭转剪应力为U =于是积分式(C)得卡塔£J。 GNd84P2D3nGd4(d)由 2,那么TQVDa6PDf尸=PIP吧就，32(a)_1_128P5N如认为簧丝是纯扭转，那么其相应的单位体积变形能是一云GMd8(b)UudV弹簧的变形能应为y(c)n为弹簧有效圈数。此处d/=必去，其中匕4=2如4巴弹簧丝总长为S=宓”)8PD64?z1三三得到Gd4Gd4(4-24)R=c=Z-三式中2是弹簧圈的平均半径。假设引入记号Wzn1那么式(4-24)可写成C(4-25)C代表弹簧抵抗变形的能力，称为弹簧刚度。可见4与C成反比，越大那么入越小。例4-5某柴油机的气阀弹簧，簧圈平均半径R=595mm,簧丝直径d=14mm,有效圈数N=5。G=80GPa。弹簧工作时受尸3=3侬，求此弹簧的最大压缩量与最大剪应力(略去弹簧曲率的影响)解：由变形公式求最大压缩量八d.8PD八14.8×2.5×103×2×59,5×10-3=Sa+)=+)考虑剪切力时""2D”59.5×IO-3)31.059×276292MPaTi 图 4-17c«4-17罐灯田杆M”不考虑剪力影响时276MPa ,相差。由于%="3>%0,还应考虑曲率影响，此处从略。§4-7非圆截面杆的扭转问题S E工程上受扭转的杆件除常见的圆轴外，还有其他形状的截面，下面简要介绍矩形截面，如图4T7a°杆件受扭转力偶作用发生变形，变形后其横截面将不再保持平面，而发生“翘曲”（图4T7b）。扭转时，假设各横截面翘曲是自由的，不受约束,此时相邻横截面的翘曲处处相同，杆件轴向纤维的长度无变化，因而横截面上，只有剪应力没有正应力，这种扭转称为自由扭转。此时横截面上剪应力规律如下（图14-7c）：1）边缘各点的剪应力汇与周边相切，沿周边方向形成剪流。T2）心发生在矩形长边中点处，大小为：源“W丸,即成/（4-26）次大剪应力发生在短边中点，大小为可=?/叫四个角点处剪应力T=（L片03）杆件两端相对扭转角歹GIk,h“烦M（4-27）o其中系数氏4"与Z有关，可查表（见有关参考书）。注意到：对非圆截面扭转，平面假设不再成立。上面计算公式是将弹性力学的分析结果写成圆轴公式形式。->104=上当&时，截面成为狭长矩形，此时3,假设以5表示狭长矩形的短边长度，那么式（4-26）化为图 4-17d图4-17d所示。（b）TTl其中Glk （4-28）3,3,此时长边上应力趋于均匀，如在工程实际结构中受扭构件某些横截面的翘曲要受到约束（如支承处，加载面处等）。此扭转为约束扭转，其特点是轴向纤维的长度发生改变，导致横截面上除扭转剪应力外还出现正应力。对非圆截面杆件约束扭转提示：（1）对薄壁截面（如型钢）将引起较大的正应力。有关内容可参“开口薄壁杆件约束扭转”专题；（2）对实心截面杆件（如矩形，椭圆形）正应力一般很小可以略去，仍按自由扭转处理。例4-6某柴油机曲轴的曲柄截面II可以认为是矩形的，如图4-18。在实用计算中，其扭转剪应力近似地按矩形截面杆受扭计算。假设8=22mm,=102mm,曲柄所受扭矩为T=281Nm,试求这一矩形截面上的最大剪应力。=4.64解：由截面II的尺寸求得822查表，并利用插入法，求出0.287于是得:§4-8薄壁杆件的自由扭转薄壁杆件：杆件的壁厚远小于横截面的其他两个尺寸（高和宽）。假设杆件截面壁厚中线是一条不封闭的折线或曲线，如图4T9a,那么称为开口薄壁杆件。假设为封闭的那么称为闭口薄壁杆件（图4T9b）1 .开口薄壁杆件的自由扭转可把截面视为一个狭长矩形（图4-20a）或几个狭长矩形的组合（图4-20b）。应力和变形计算可引用狭长矩形截面杆的结果。最后计算公式仍用(4-28),只是 %,心意义作适当改变。图 4-2Ob(1)截面可展成一个狭长矩形的, 中h为截面展开为狭长矩形时的中长度，如图4-20b, hD0(2)截面可视为n个狭长矩形组成 可按横截面投影形状保持不变(刚周 假设，即根据各矩形的扭转角(同M力)和整个