课堂导学（2.1.2演绎推理）.docx
课堂导学三点剖析一，“三段论”的结构【例1】指出下面推理中的错误.（D自然数是整数大前提-6是整数小前提所以-6是自然数结论（2）中国的大学分布于中国各地大前提北京大学是中国的大学小前提所以北京大学分布于中国各地结论解：（1）大、小前提中的“自然数（P）与"-6"（三）都分别与“整数（M）的一局部存在联系，这样“整数（M）就不能起到联结“自然数（P）与"-6”（三）的作用，因此不能使“自然数（P）与“-6（三）发生必然确实定关系.（2）这个推理的错误原因是“中国的大学未保持同一，它在大前提中表示中国的各所大学，而在小前提中表示中国的一所大学.温馨提示三段论推理的论断根底是这样一个公理：“凡肯定（或否认）了某一类对象的全部，也就肯定（或否认）了这一类对象的各局部或个体简言之，”全体概括个体."M、P、S三个概念之间的包含关系表现为：如果概念P包含了概念M,那么必包含了M中的任一概念S（如图1）;如果概念M排斥概念P,那么P必排斥M中的任一概念S（如图2）.弄清以上道理，才会使我们在今后的演绎推理中不犯（或少犯）错误.二，应用三段论证明数学问题【例2】梯形的两腰和一底如果相等，它的对角线必平分另一底上的两个角.在梯形ABCD中（如下列图），AB=DC=AD,AC和BD是它的对角线.求证：AC平分NBCD,DB平分NCBA.证明：（1）等腰三角形两底角相等（大前提），DAC是等腰三角形,DA、DC是两腰（小前提），NI=N2（结论）.（2）两条平行线被第三条直线截出的内错角相等（大前提），/1和N3是平行线AD、BC被AC截出的内错角（小前提），N1=N3（结论）.（3）等于同一个量的两个量相等（大前提），N2和N3都等于/1（小前提），N2=N3（结论），即AC平分NBCD.同理,DB平分NCBA.温馨提示这个证明中如果把（4）也详细地写出，那么一共通过六次三段论的形式.因此一个命题的证明形式，确切地常叫做复合三段论的形式，或说命题的推证方法是复合三段论法.但是事实上，每一次三段论的大前提并不写出，某一次三段论的小前提如果是它前面某次三段论的结论，也就不再写出了.如例2的证明可写成：TDA=DC（省略了大前提），,N1=N2.VDBC,且被AC截得的内错角为NI和23（省略大前提），Z1=Z3.Z2=Z3,即AC平分NBCD（省略大前提，小前提），同理可证DB平分NABC.这样，一般地在推论命题时所采用的这种表达的方法,就叫做简化的复合三段论法.三，创新应用例3设f(x)=sin(2x+)(-<<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=-.8求;求函数y=f(x)的单调增区间；(3)证明直线5-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切.(1)解：.=2是函数y=f()的图象的对称轴，8.*.sin(2×+)=÷1.8：.+=k+,k£Z.42V-<<0,小343434解：由知=,因此y=sin(2x).443TTTt由题意得2k一2x2k11+,k三Z.242函数y=sin(2x-红)的单调增区间为k+-,k+-,kZ.488(3)证明：:y'I=Isin(2x二工)'=2cos(2x)I2,44曲线y=f(x)的切线斜率取值范围为-2,2.而直线5-2y+c=0的斜率为>2,3万，直线5-2y+c=0与函数y=sin(2x)的图象不相切.4各个击破类题演练1指出下面三段论的大前提、小前提和结论.相同边数的正多边形都是相似的；这两个正多边形的边数相同；所以这两个正多边形也是相似的.解：是“大前提，是“小前提”，是"结论”.变式提升1月食时落在月球上的地球影子,轮廓始终都是圆形的.只有球形的东西，才能在任何情形下投射出圆形的影子.这就证明地球是球形的.以上证明过程是否正确.正确时指出大前提、小前提和结论，不正确时指出错误.解析：以上证明正确.是大前提,是小前提,是结论.类题演练2由三段论形式证明：在梯形ABCD中，ADBC,AB=DC,那么/B=NC.证明：延长AB,DC交于点M,平行线分线段成比例，大前提AMD中，ADBC,小前提MC4.、人=，结论BACD等量代换,大前提AB=CD,小前提MB=MC.结论在三角形中等边对等角，大前提MB=MC,小前提NI=NMBoNMCB=N2,结论等量代换大前提ZABC=-Zl,ZBCD=n-N2,小前提ZABC=ZBCd.结论变式提升2设a>0,b>0,a+b=l.求证一+8.abab证明：因为a>O,b>O,a+b=l,所以l=a+b22ab,所以abW',所以24.2ab所以L+-=(a+b)(1+上)+-2ycb2J4+4-8,ababababVabab当且仅当a=b时等号成立，所以L+1+_L28.abab类题演练3如下图，三棱锥P-ABC中，PA_LBC,PA=BC=I,PA,BC的公垂线ED=h,求证:ViBC=V-1.6证明：连AD,PD,VPA=BC=I,ED=ht又PAjLBC,ED-LPA于E,ED±BC于D,：SZiPAD=-EDPA=-Ih,22且BCJ_面PAD.;截面PAD把三棱锥P-ABC分割成两个三棱锥:B-PAD和C-PAD且BD+DC=BC=1,：VF1-BAC=VB-PAD+Vc-PAD二SPI)BD+SAPADDC33=-lh(BD+DC)=-l2h.326变式提升3f(x)=3-x+1(XWR),证明y=f(x)是定义域上的减函数，且满足f(x)=O的实数值X至多只有一个.证明：(D设xKx2WR,那么f(X1)-f(X2)=(-XI3-X1+1)-(-X23-X2+1)=(X2-X1)(X2IX2+X12+1)13=(x2-X1)(X2+Xi)-+X12+1>0,24所以f(x)>f(2).所以f(x)在R上是减函数.(2)f,(x)=-32-1=-(32+l)<0恒成立，所以f()的减区间为(-8,+8).假设f(x)=O的实数根X不止一个，不妨设X1X2R且f(x)=f(x2)=0.因为f(x)在R上单调递减，所以假设X<X2,那么f(x)>f(X2).假设X1>X2,那么f(x)<f(X2)与f(x)=f(X2)=0矛盾，所以假设不成立，故f(x)=O的实数根至多只有一个.
