数值分析复习题答案.docx

数值分析复习题一、填空Chapterl绪论近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有位有效数字.用IoOO.1近似真值IO(X)时，其有效数字有4位，准确值X*与其有t位有效数字的近似值"=°2×1O'(1O)的绝对误差为x*-x×10vz设三=2.40315是真值X=2.40194的近似值，那么(有3位有效数字。-J-×104=-×104设一近似数X*=25231具有5位有效数字，那么其相对误差限是2x24,其绝对误差-×104限是2x÷l-7x=.1-=当X很大时，为防止损失有效数字，应该使x+l+VxChapter2插值方法s(x)=3x6+6-5x2+1j那么九一3,-2,-1,0,1,2,3=3假设f(x)=24+-3,那么fl,2,3,4,5,6=。对f(x)=x3+3x2-x+5，差商f0,l,2,3,4二0。设F(X)=X6-3/+/-5,那么差商/04,2,3,4,5,6=1丫=3)的均差几¥。'/，%=5,/x4,x0,x2=9fl43,x2=i4,f,x3,x2=8,.那么均差fx4,x2,x=9O(交换不变性)X112-32(x+1)(%-2)+(x+l)(x-1)设有数据那么其2次Lanmge插值多项式为23,2次拟合多项式为(最正确平方逼近可求)。？以n+1个整数点k(k=O2,n)为节点的Lagrange插值基函数为£0)(k力Idk(X)=T=0,1,2,.,n),那么k=oXo?(注：九一"，那么有拉格朗日插值公式：y4()=EyJk(X)k=0,x = 0,1,2,，2； y=0,l,2x3-lOxlS(X)=4132-(x-l)3+a(x-l)2+b(x-l)+clx2假设2是三次样条函数，那么：a=_3_,b=_3_,c=O。三次样条函数S(X)满足：S(X)在区间a,b内二阶连续可导，S(xk)=yk(),k=0,l,2,n,且满足S(X)在每个子区间xk,xk+l上是不超过三次的多项式。(1.5x+lX=0,2过(0,1),(2,4),(3,1)点的分段线性插值函数P(x)J-3x+l°x=2,3i. Xxxlx2x3x4ii. yyyly2y3y4设有函数表如：W丫m0mlrn2m3m4,那么可利用分段三次Hermite插值，其插值多项式的次方为三次.？Chapter3函数的最正确平方逼近无Chapter4数值积分与数值微分牛顿柯特斯求积公式的系数和=。积分区间的长度(b-a)o(验证梯形、辛普森、科特斯公式满足)？r311If(x)dx=-f(一)+-f(l)12数值求积公式品)434的代数精度为：2次代数精度。(依次将函数IKK-代入验证是否满足，可得代数精度)rill3的代数精度为：3次代数精度。求积公式求积分£ f(x)dx的近似值，其辛卜生公式为b - ar q/、+ /0) + 4/(-)Jo2Jo/(X心-2/(一)-/(一)+2/(一)求积分I>"的近似值,其复化梯形公式"叱9+2»5"/(/)=,l+dr+/S)=设J。，那么用梯形公式得近似值为22Chapters线性方程组的直接解法能用高斯消元法求解Ar=S的充要条件是A的各阶顺序主子式不为零(P113),当满足条件7且3时(各阶顺序主子式不为零),A可作LU分解，当满足条件。>3时(A为n阶对称正定矩阵)，必有分解式A=LL，其中L是对角元素为正的下三角阵。Chapter6线性方程组的迭代解法-548，那么皿=17 ,设A=112,那么阿=20。7设45 o510 JAII 产3-233-,那么:ML=-8_,|隗=_3IAe=_9IAcMLM=24。P(A)方阵A的谱半径是指maxA. in I矩阵A的条件数是指。MA)=MMAll非奇异矩阵A的条件数Cond(A)=? ? , A是病态是指条件数数值很大。？ ？则条件数Cond8（八）=ChaPter8非线性方程的数值解法解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数(x)满足在有根区间内l"(x)LVL那么在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛。R"=。一0U)-2¾利用二分法求f(X)=0在外切上根的近似值，误差限为2及设f(X)可微，那么求方程2=f(x)根的牛顿迭代格式为求后的近似值，其牛顿迭代格式为M5厂W3的近似值，其牛顿迭代格式是5%求解方程/*)二°的 Newton迭代公式为f()割线公式为Xr.1=xk(RJt-Xrl)k=1,2,3.'/UJ-Z(V1)序列KJn=O满足递推关系：丫=10丫-1，（11=1，2，一）,假设丫0有误差，这个计算过程不稳定。Chapter9常微分方程初值问题的数值解法微分方程数值解的几何意义是指用直线代替曲线。？求解常微分方程处值问题y' = (x,y), a<x<b ,y(a) = 的改良Euler （梯形法）公式为y0(a) = "yj+=Yj+乳fg,%)+/(¼，%),它是二阶方法（二阶精度）。Euler法是一阶方法（一阶精度）。P218MM=X+妙(当，力)7=0,1,2.,«-1h-解常微分方程初值问题的改良欧拉法预报一校正公式是-÷=力+5/(巧，)+/(¼，九+1)Zz一_v+hf（V）匕+1=匕+彳"（弓，X）+/（XjN，九+1）预报值：_%+均（4,Mj,校正值：jj2jj计算题Chapterl绪论无Chapter!插值方法一、求一个次数不高于4的多项式p4（x）,满足以下插值条件：解.设.R（X）=a44+a33÷a22+旬根据条件（五个未知数五个条件）解方程组可得：即:Pt（X）=X4+3÷2二、设，（X）在X。，12上具有三阶连续导数，且"（外上"，与"。2,再是区间%,的中点，鸟（幻是经过点（Xo，/（Xo），（XLf（F），02，/。2）的二次多项式。试证明对任意KK有Jaia）l瑞其中八号此题中=2,(X)I证明：由于，外（不）是经过点*。，/（工。），（为，/（项），（电，/（%2）那么可以构造出二次牛顿插值或拉格朗日插值，其误差均为：MyXqxx2r3()=(X-X0)(X-X1)(X-X2)jX2-max6(x)=I(X-XO)(X-x0-)(x-x0-2砌，其中-广用力=T-20+(X)=00276mTTT所以：5+1)19近三、作三次多项式“使满足：H(O)=LH(I)=0,H(2)=LHXD=Io解：/(%)为二次牛顿插值多项式，建立差商表，如以下图所示：可得：/(x)=l-x+x(x-l),令"(x)=(x)+Ax(x-I)(X-2)那么"(x)=-2+2x+A(3/-6x+2),因为“=1,解得A=T最后得满足条件的三次多项式："(r=1-4x+4x2-X3of_1_1_4f(x)dxXO=£，Xl=彳，工2=£，四、对于积分J。，假设取节点525试推导一个插值型求积公式，并用这个exdx公式求J。的近似值。P74解：1、构造出三节点的拉格朗日插值多项式的基函数，如下：2、先计算系数AM=(U'2,具体过程如下：225225/()公4f(J=/()+U)+÷-f(2)然后构造出积分公式：。A=o3、根据构造的积分公式，计算J。,具体过程如下：五、给定数据试求八幻的3次NeWtOn插值多项式，并写出插值余项。解：求解差商，如下表所示：311N?(x)=4XHX(X-2)+_X(X2)(X3)那么：226/5+I)（八）用力=fix,%xn(x-)0-X)(x-11)=-¾+1(X)插值余项：5+1)!Chapter3函数的最正确平方逼近夕(X)=ax+一、观测数据1,-5),(2,0),(4,5),(5,6),试用最小二乘法求形如X的经验公式。(10分)解：/(x)=LX1,3二、求X上的一次最正确平方逼近多项式及平方误差。解:取0。=；埼=，Px）=a+bx分别计算：So，f）根据一侬，02）（。2，。2）_代入求解得：=l1406b=0.2957即得：6（x）=l1406-02957x为/（）在多项式集合fpanl,x的最正确平方逼近。蹴=（/J）-（7,。）=Il戊-C”用）平方涅妾.i=0g14,1试求/（X）的一次最正确平方逼近多项式，并估计误差。解：方法同上/(x) = sinx四、设2，试求了（幻的一次最正确平方逼近多项式，并估计误差。解：方法同上五、设“2=3，卬?1,一.试在加2中求/*）=|犬|在区间一1,1上的最正确平方逼近元。解：取A=1；A=/；P2（x）=a+bx2分别计算：A Y1616(44)3 15 2根据(4,A)即得：（八）-16+16A为/O）在多项式集合=SPanl,2的最正确平方逼近。六、用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合以下数据X01.02.03.0y0.20.51.01.214 36解：因为过原点，所以取a=L=厂；二次曲线为：Ea）=皿+*A7A =Zi=/1/1=riV390149369815.3,L-，J，Jj由AAC=Ay可得.«=0.6184,Z?=0.0711即得：6(x)=°6184x-0.071LY-为/()在多项式集合=SPanx,x,的最小二乘法拟合曲线。IK=-p()=1.7575平方误差：W)七、求解矛盾方程组: 解：1 1 11 3 1A =2 523-15112 3r= 1 3 5 -11-12 515AfA= 1119113631931-5由.AATC=A7y,可得.x1=-1.5917,x2=0.5899,x3=0.7572Chapter4数值积分与数值微分f2d一、把区间分成两等份，用复合辛卜生公式计算J°+的近似值。保存小数点后四位，并说明误差是多少。cjh«-*"f(xMx=-/(«)+f(b)+2g)+4g/(X1)解：根据复合辛卜生公式Q6yEy误差分析：二、如果/(x)°,证明用梯形公式计算积分'=1，/°心所得结果比准确值大，并说明其几何意义。证明：(b-a)3.Rf=-f(ab1、梯形积分公式余项：12,因为/(幻°,所以用刀°,蚀b a = f(x)dx = -/(X) + f(b) + Rlf根据：JiI 2可得用梯形公式计算积分""L /0 "所得结果比准确值大。2、几何意义：？"()+S)f,f(xdx利用梯形的面积2近似的代替曲边梯形MBb的面积J,J'a。(如上图所示)三、给定数据x1.301.321.341.36138/(X)3.6020103.903304.255604.673445.17744C1.38I=f(x)dx用SimPSon公式计算j'30的近似值，并估计误差。解：？1、将x=30,1.38进行户2等分，那么根据复合辛普森公式可计算，计算过程如下:rbh,«f(x)dx=-/(«)+)+2f(xk)+f(xJ)复化的Simpson公式：“6A=,A=,"1(注：(0.46)*(3.602010+5.17744+2*4.2556+4*3.9033+4*4,67344)2、误差估计：&"i八Yd此题中：Sj)=(I38-1.3O)=0.O8,=0.04,设小)及其各阶导数的函数值在区间内不产生较大的变化，因而利用各点间的斜率代替曲线切线，最后计算取F'O=3875°,可得：f(x)dxAf(-h)+Bf(O)+Cf(h)arc四、给定求积公式J，/'7,试决定使它的代数精度尽可能得高。解：4h = A + B + C0 = Ah+Ch-h3 = Ah2+Ch2 3=? ?8-3 438-3"=?=百 BC1、由于该求积公式有三个未知系数可以确定，根据代数精度的定义，可知，该求积公式至少是2次精度，那么将/(X)分别取LMY代入该求积公式可得三个等式，从而确定系数A、B、C,具体过程如下:Ch848J/a)小刊i)-刊(°)+#f(x)=x，/代入求得的积分公式进行验证，假设V"成立而产"不成立，那么该公式为m次代数精度，具体过程如下：128a4a8R=0三ff(x)dx=-(-)3-z(0)3+2h(h)3=Oj-2333,精确成立；=-h52hf(x)cbc=-h(-h)4-"O)"+-()4=-h55j-23333,不能精确成立；l2A848f(x)dx-hf(-h)-Iif(O)+-hf(h)所以：求得的积分公式为J-2人333具有3次代数精度。四、设/(幻四阶连续可导，%=%+龙=°/，2,，试建立如下数值微分公式：J5)-20)+(%)并推导该公式的截断误差。PlOO解:由条件%=%+"'"=°'l'2，得:其中*为中间点，"。'"2分别为*的左右等距点，利用泰勒公式展开得：(注：四阶连续可导，展开公式有四项)将、(2)两式相加得：/()÷/(x2)=2(x1)+A2/*(X1)=/(X1)=/(/)"+"W)h将、(2)两式相减得：两个公式精度均为°(后)。Chapter5线性方程组的直接解法Chapter6线性方程组的迭代解法x1-2x2+2x3=5«一为+3=-1一、写出计算线性方程组P*+7/=2的高斯一赛德尔迭代格式，并分析此格式的收敛性.解：XjfeM=5÷ 2xk - 2xk11+F-X33,22a+i=X1、高斯一赛德尔迭代格式为:77,2、判断该高斯一赛德尔迭代格式的收敛性:迭代公式的矩阵形式：”"=纥”+£,其中：=(D+L)Ta£=(£>+£)”0-4242纥=！°T41426max26012-124=4=°，4=；77P(BJ=须>11.u12"，求得：21,计算：13I21所以，该迭代公式不收敛(即：发散)。5x1-1Ix2+x3=18-x1+X2+4巧=6二、对下述方程组I12xi+x2-直接应用高斯一塞德尔迭代法求解是否收敛？如果不收敛试设法给出收敛的迭代公式，并简述理由。解：1、迭代公式的矩阵形式："“二&0+九其中：=-(D÷L)-',=-(D÷L)-B,P(BJ =2.22.228.6max-0.2-4.2-6.6.l3 ，* 俎 =O,L= -2.2-10.0379/,4=-2.2 +10.0379z4 笆，水w :，”舁：10.2762 >1,所以该迭代公式不收敛(即：发散)。2、构造收敛的迭代公式？ ？5x 11/ + / = 18-xl+x2+ 4x3 = 612司+乙-七=9化为:12x1 + x2 - X3 = 9* 5x1 -1 Ix2 + X3 = 18-x, +z +M =6那么可得到新的:A为严格对角占优矩阵，所以采用雅可比和高斯塞德尔迭代都收敛!,b 二三、0、31>用迭代公式"”=产+次从'"一»,其中：伏=0,1,2,)。求解Ar二"问取什么实数。可使迭代收敛，什么。可使迭代收敛最快。解:k将心叫)化为标准形式册”=(E+A*令B=(E+A),f=-h,可得：=+/由已经条件可得:l + 20O2aOl + 5OaO1 + 30解得.4 =l+5,% =l + 4,4 = l + P(B) = 根据迭代法收敛的充要条件：max. <1 lz3 ”可得关于的不等式:l + 5a<ll + 4a<ll÷6r < 1=>2一一Ca<05-< <02-2< a <0=> a(-,0)2八a (-,0)/1,所以在 5时，夕(切<1,即迭代收敛。2、求解可使迭代收敛最快:题三示意图2分别将AB)Tl+5,p(8)=l+4,p(B)=l+作出曲线图,如上图所示。在丁)的区间P(B) 内，max九1Z3 I的曲线为黑色粗线，那么夕mini)为折线的最低点(红点)，即为曲线夕(3) = l + 5同和z×3) = l + 的交点，求得:1Ct =3,使得(3)最小。1 a 判断夕(8),越小收敛精度越高。当 3时,0(B) = Pmin(B),所以迭代收敛最快。-2x1 + Ix2 + 33 = 12< -4xl +2x2 +x3 = 12四、给定线性方程组lx+22+3x3 = 16用列主元消元法求解所给线性方程组。写出Gauss-Seidel迭代格式，并分析该迭代格式是否收敛。解：1、用列主元消元法求解所给线性方程组。-2 2 3 12Ab= -4 2 1 122 30 0 0-2 0 00 2 32 1=-4 0 0+0 2 0+0 0 12 3_ 12 00 0 30 0 0增广矩阵为： Ll 2 3 16对其进行列主元消元:-2A= -42、LL + D + U检验高斯一赛德尔迭代,XwD = B/幻+ 工，其中：瓦=(£> +L)Ta> = (£> +L)Tb其过程同下题六(2)!五、给定线性方程组(1)写出GaUSS-Seidel迭代格式；(2)分析该迭代格式是否收敛。检验高斯-赛德尔迭代，”"川=8产+工，其中：民=(。+L)W.=(O+L)-%其过程同下题六(2)!10.5。50.510.5六、给定线性方程组Ax=b,其中A=L°5°51J,证明雅可比迭代法发散，而高斯一赛德尔迭代法收敛。证明：迭代公式的矩阵形式：二瓦""+£,分别检验2(3),进行敛散性判断。I、检验雅可比迭代，幻十(其中：B=-DU=-DbiO-0.5-0.5B=-0.5O-0.5-05-0.5O,求解得：4=05,4=°5,P(B)=I所以雅可比迭代发散！2、检验高斯-赛德尔迭代，”"=用/)+工，其中：s=(D+L),Uffs=(D+L)lb'0-0.5-0.5"Bx=00.25-0.2500.1250.375J求解得.A=0=0.3125+0.1654z,=0.3125-0.1654z0(B)=O.3536<1,所以雅可比迭代收敛！20<<七、设A"有个正的实的特征值4N×k4试证当4时迭代公式/+D=*+S-Av（八）)收敛。解：利用："D=x*)+S-AQ)=>x(M)=(E-aA)x(k)-ab=>x(k+i)=Bx(k>+f,那么：B=(E-aA)J=abf求解B的特征值4,可求得P(B)只需证明夕(8)<1即可证明收敛。过程同上！'3213"A=,b=八、给定线性方程组Ar=A,其中L12JL-1J,用迭代公式(""=""+S-Ah)(k=0,l,2)求解，问取什么实数可使迭代收敛，什么。可使迭代收敛最快。解：同题三！ChaPter8非线性方程的数值解法一、在求非线性f(x)=O根的近似值时，论证简单迭代法一般为线性收敛，而牛顿迭代法为平方收敛。P200证明：？1、一般迭代法：Xk+产g(Xk)，k=0,12，由于/_/+=g(4)(9一五),g*,*,_畀=IgC)Ig()k8所以,U4)4,因而同假设Iga)I且Iga)I<,那么简单迭代法为线性收敛！X=X-""1=g(x)g(x)=x_-2、牛顿法，迭代格式为：f(x)',对/(x)'求导，得：上式中F(J)=0,所以当f(J)w时，g(*)=O,8(%”)工0,牛顿法为平方收敛。(注：P201,一般情况下，g(x")=g(/)=gP"(x*)=O,而gp()w°,称玉=g(%k)在/附近为P阶收敛)二、考虑求解方程2cosx-3x+12=°的迭代公式(1)试证：对任意初始值/该方法收敛。(2)写出用牛顿迭代法求解此方程的迭代公式。解：228(%)=4+8sx=>Q(X)=SinX1、证明：由条件，迭代函数为332I2(x)=-sin.d-<lXeR可得：3I3,所以，对于任意的初始值不，该方法收敛。2、令：/U)=2cosx-3x+12,那么其导数f(x)=-2SinX-3f(x,)2cosxl-3xl.+12=K=4+二白一由牛顿迭代公式J(Z)可得：ZSInZ+J三、给定方程丁+4炉-10=°分析该方程存在几个根，并构造求近似根的迭代公式，证明所用的迭代公式是收敛的。解：=_81、令：/(x)=x3+4x2-10t令/'()=3+8x=0,解得不(-OO,-,0/(X)在3为增函数，3'为减函数，0，+0。)为减函数，具体函数形状如图a所示，又由于QQQ/(-2)=-0.515,/(0)=-10x1=-f(-)-0.515<03,建立坐标系，从图中可以看出3,3为局部-8,0)最大值，/(0)=-10<0j图中可知该方程有一个根。图a图b2、由于/=一5<0,/(2)=14<°,可知x*1,2/(x)=x3+4x2-10,/(x)=3x2+8x>0,/(x)=6+8>0构造牛顿迭代公式，f(xk)+4x-10xk+l=xk卜=Xk_7Ef(xky34+8%证明：验证迭代公式是否满足以下条件：？在xwl,2上，/(幻、八X)存在且F(X)>O"(x)>O符号不变，满足条件；/(2)<0,满足条件；假设要F(XO)F(X)>0%,XC,由于/(X)>O,应使f(o)>,比方XO=1.5,/(1.5)=2.375>O,即可假设满足条件；综上，可知该迭代公式收敛！五、给定方程X-L优一2二°。(1)分析该方程存在几个根，找出每个根所在的区间；(2)构造求近似根的迭代公式，并证明所用的迭代公式是收敛的。解：方法同上下题！四、给定方程/(幻=(%一1)"-1=°。分析该方程存在几个根；用迭代法求出这些根，精确至四位有效数；证明所试用的格式是收敛的。解：1、分析方程存在几个根：/(x)=(x-l)2÷x2Z>0j所以/3在(，向上为增函数，同时y)<o,(y)>o,所以f(X)存在一个根。2、用迭代法求解：迭代格式为：加=e"+1,由于/<°J(2)>0,八1取Xo=I5,计算过程如下：Ixp-X11I-×103=-×1014*22,具有四位有效数字，所以X=12238。3、证明：迭代函数g(%)=Xz=""+Ig(x)=-2x"检验是否满足一下条件，g(x)=e+1在xl,2上存在且连续，满足条件；(2)g()在XWu2上为减函数,因而，可得：g(x)2,xU,2,满足条件：M(X)I=-2xe21=L<1满足条件;(3)/综上，可知该迭代公式收敛!Chapter9常微分方程初值问题的数值解法一、用预估一校正法求初值问题在x=0.2处的数值解，步长取h=0.1°(要求保存小数点后4位)解：预估一校正公式如下：y=-ayx>02-ah'2 + tz>二、假设用梯形公式求°)=N°的近似解，其中>°,试证明:X=(1)(2)对固定的玉二"，当7->°时，”收敛于准确解。解：(1)根据梯形公式(改良的欧拉法公式)：由条件得：/，y)=y="y),)'(°)二%h.rz、2-ah利用:那么:证毕!XfJ/(XD=X=W-2-ah.2-ah.1-.2-ah.i.2-ah.iX=二前I=R)NT=(否)X-<=)%(2)对固定的七二，当力°时，即为"°(2-ah=-7根据12+H”得:那么：L收敛于准确解。y=1+y三、用预估一校正法求初值问题Ins=°在=o.2处的数值解，步长取h=o.°(要求保存小数点后4位解：方法同上题一！/ax2,，_a仆_c)'(x)=÷bx四、初值问题y=G+n"U)=U有精确解2,求证：用欧拉法以人为步长所得近似解”的整体截断误差为：2。MO)=O(,1=÷hf(k，M)M=O,L2,一1证明：根据欧拉法公式:由条件可得x=0+"1=幼M=012,一1,f(x9y)=axbf迭代过程如下：证毕！y=x2,x>o3五、初值问题1武°)二°的解为'")一3'。假设=九y是用改良欧拉公式得到的y()在巧y(%)-K=2,Z=1,2,3,处的近似值，证明：6。XO)=0h+=÷-lf(k，然)+,m),%=0,L2,一1证明：根据改良的欧拉法公式：2f(xty)=x2=f(x)fxi=ih9yif代入得到迭代过程，如下：必"T)*)+4尸将，式相加可得：62那么:命题得证。