2024年1月新“九省联考”考后提升卷1（解析版）.docx

2024年1月“九省联考”考后提升卷1数学一、单项选择题1.某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8,5,7,5,8,6,8,则这组数据的众数和中位数分别为（）A.5,7B.6,7C.8,5D.8,7【答案】D【解析】数据由小到大排列为5,5,6,7,8,8,8,因此，这组数据的众数为8,中位数为7.故选：D.2 .设椭圆的两个焦点分别为耳、F2,过户2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若AFFF?为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A.立B.叵11C.2-l22【答案】C【解析】依题意，设椭圆的长轴为2%半焦距为J则忸用=2,则IP用=2c,P周=2岳,于是2z=PE+P同=2c+2c,5=葺=W五=应一故选：C3 .若数列满足26+=。”+4+2，其前项和为s,，若=。，016÷t717=18,则L=（）I.OB.18C.I17【答案】B【解析】因为数列4满足2。=凡+可+2,则数列&为等差数歹设数列q的公差为d,则/+%=4+8d+4+9d=17d=18,可得d二方，srj18所以，%=%+=万，所以,s7=17(4+%)=!Z=17%=17x竺=18,故选B.22174 .已知。、夕是两个不同的平面，加、是两条不同的直线，则下列命题中不F碰的是()A.若团_La,nila,则ZJ_B.若z_La,nl,a11,ljmlInC.若尸，MUa,则m/夕D.若ZJ_，"z_La,nll,则a_L/7【答案】D【解析】对于A选项，因为a,过直线作平面夕，使得c4=,因为,nu13,ac3=a,则/0,因为相_La,u,则ZWJL,故?_!_，A对；对于B选项，若用_La,CtH,则6JL/,又因为_L尸，故m，B对;对于C选项，若a/甲，mua,则就/P，C对；对于D选项，若m_L，m_La,nll,则、夕平行或相交，D错.故选D.5 .在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育“，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲、乙、丙、丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排I名专家的概率为1 - 9A.4 - 9B.8-27a【答案】B【解析】甲、乙、丙、丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法共有:3'=81种:每个地区至少安排1名专家的安排方法有：C；A；=36种;364由古典概型的计算公式，每个地区至少安排1名专家的概率为：-=故选：B.6 .设厂为抛物线y2=2x的焦点，AB,C为该抛物线上三点，若E4+/8+尸C=0，则FA+FB+FC=()A.9B.6C.4D.3【答案】D【解析】设铀，,），必），C（项，M），抛物线焦点坐标呜，0），准线方程:1x"2,FA+FB+FC=0>.点产是ABC重心，3则为+工2+工3=3，y+%+为=0.而IFAl=X_(_/)=X+g,IFM=X2-(一T)=X2+g，FC=x3-=x3+1I1333.F+FB+FC=x1+-+x2+-+xy+-=(xl+x2+x3)+=-+=3t故选：D.7.己知, 1, tan2 = -4tan ( + - j,则l÷sin22cos÷sin2C.1【答案】A【解析】由题北停,pm2e=-4tan(e+0za2tan6-4(tan+l)2得；=>-4(tan+1)=2tan9,l-tan2cos2 + sin22cos2e + 2sin6cose2 + 2tan6- + 1-1 14= 1 + (-1) 4<9I-Iane')则(21006+1)(131)6+2)=0=13116=_2或13118=_；,因为6c(弓,),tan6c(-1,0),所以tan6=-g,1+sin2。_sin2+cos?。+2sincos_tan2÷l+2tan故选：A8 .己知耳,尸2分别为双曲线.-。=1（。0方0）的左、右焦点，过尸2且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点A若IP用=4|尸用，则双曲线的离心率为（）A.7B.呼C.3D.21【答案】B【解析】如图，不妨设点P为与双曲线渐近线），=，X平行的直线与双曲线的交点.由已知结合双曲线的定义可得|明|-|尸鸟|=3|尸闾=加，所以，P周=g,P周二三，tanZP=,且4；鸟P为锐角.又sm/,丁小4工/，,sin2Zf；F,P+cos2ZP=1,CosZFiF2PaJN所以，CosZFiF1P=-.c又寓闾=2，在./鸟P中，由余弦定理可得CosZFiF2P =|"+|"用2-归用2 2|明忻段整理可得，3c2=7t/2,所以C=肾=浮a,e=,誓.故选：B.二、多项选择题9 .若函数/（力=Sin（2方）的图象向左平移;个单位长度后得到函数g（x）的图象，则A. g(x)的最小正周期为九B. g(x)是奇函数C. g(x)的图象关于直线X=多对称16D. g(x)在卜,占上单调递增Lo_【答案】ACD【解析】由题意，可得g(x)=sin2(X+外一9=sin(2x+9则g(x)的最小正周期为元，且g(x)不是奇函数，所以A正确，B不正确；当X=萼时，可得g(x)=sin(2x普+J)=SinS=1,所以g(力的图象关于直线X=对称，所以C正确；由x0,1,得2x+5pyj,所以g(x)在o(上单调递增，所以D正确.故选：ACD.10 .己知复:数z=2+i,z,=x+yi(X,ycR)(i为虚数单位)，2为Z的共聊复数，则下列结论正确的是()A.5的虚部为TB.z2=IzI2C曰=IIzID.若IZ-z1?1,则在复平面内ZI对应的点形成的图形的面积为【答案】CD【解析】由题意可得W=2-i，所以N的虚部为-1，A错误,z2=(2+i)2=3+4i,z=22+l2=5,故z2zf,B错误,IZl 22+l2C正确,IZ-Zl|?1表示点(y)到(2,1)的距离不大于1的点构成的图形，故为以(2,1)为圆心，以1为半径的圆以及内部，故面积为兀，D正确,故选：CD11 .己知函数/(),g(x)的定义域均为R，且g(x)=f(4+x),/(x+j)÷(x-y)=g(x-4)(y),g(-3)=l,则下列说法正确的有()2026A./(1)=IB.f(x)为奇函数C.”的周期为6D.U)=-3A=I【答案】ACD【解析】对于A,(-3)=/(1)=1,故A正确；g(x)="4+x),.g(l)="x),J(+y)÷(-y)=W(y),令y=1，则f(x+)+f(I)=F(力，./(x+2)+/(x)=/(x+1)(2),+可得f(xT)+(x+2)=0,'(x)+(x+3)=>.(x+3)+(x+6)=0,.(x)=(x+6),因此7=6,故C正确;令X=O,f(y)+f(-y)=f(O)f(y),令x=l,y=0,2(l)=(l)(0),则"0)=2,故x=0,f(y)+f(-y)=2f(y)=>f(y)=f(-y)t故"X)为偶函数，所以B不正确；因为f(x)="x+6)="r),故"力关于x=3对称，且"0)=2,/(1)=1,令X=1,y=l,则2)=-1,令x=2,y=l,/(3)=-2,则f(4)=f(2)=T,"5)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,一个周期的和为0,则(2)=f(1)+/(2)+/(3)+/(4)=-3,故D正确.故选：ACD三、填空题12 .己知集合4=x-3x2,B=kkAu5,则实数的取值范围是.【答案】(口,一3【解析】集合4=x-3x2,B=kkAu5,则-3.13 .传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.在一个“圆柱容球''模型中，若球的体积为4扃，则该模型中圆柱的表面积为.【答案】18【解析】设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,母线长为2R,则球的体积为g兀*=4在兀，所以R=6，所以圆柱表面积为2R?+2R×2R=6R2=18.14 .对于任意两个正实数小b,定义<S)b=lf,其中常数九坐若“v>0,且y与U都是集合kIX=夕的元素，则“U=3【答案】彳【解析】由瓯与网”都是集合卜x=geZ卜J元素，不妨设了=%出=,丫<2)=4±='2，1，2Z,V2u2因为“V>O,所以O<N1,U由己知所以则2仪°，2),又0eZ,所以“2=1,即工=小，所以?(&,2),%w(2,4),则3巴=(XL=J_e(,2),即勺6(2,4),VV22v7133因为t1eZ,所以=3,则1=5，即位y=Q.四、解答题15.己知函数力=1必+/+仆+2在点(2,/(2)处的切线与直线2工+3尸0垂直.(I)求。；(2)求函数的单调性和极值.1、1Q解：(1),(x)=-2x+a,则/2)=+22+=耳+4,由题意可得6+a)x(q)=l，解得=一3；(2)由a=-3,(x)=lnr+x2-3x+2,rlf,i1Ca2x2-3x+1(2x-1)(x-1)则f(X)=+2x-3=-,x>0,XXX故当O<x<T时，盟冷>0,当<<l时，,(x)<0,当x>l时，制x)>O,故“X)的单调递增区间为(0；)、(1，48)，/(X)的单调递减区间为6)，故f(x)有极大值/(1)=n1+(1)-3×÷2=-ln2,有极小值f(l)=lnl+12-3xl+2=0.16.某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有X个红球，则分得X个月饼；若摸出的球中有黄球,则需要表演一个节目.(I)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.解：(1)记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A,可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，所以P（八）=堡垮也C=Cg56(2)由题意可知X的可能取值为：0,1,2,3,则有:P(X=O)=等q,p(x=)=善=输JZOJZoP(X=2)=等*,P(X=3)=等总,CsJOC8JO17.如图，在四棱柱A8CD-A4CQ中，底面ABCQ和侧面BCG与都是矩形,DD=DC=5AB=2BC=2.巴.多CAk逃(1)求证：ADYD1C;(2)若点尸的在线段BA上，且二面角尸-CD-8的大小为：，求”的值.(1)证明：在四棱柱ABCz)中，底面ABCD和侧面8CC心都是矩形，则侧面ADAA都是矩形，有Ao_LOC,AD±DD1,DCCDDi=D,DC,DDlU平面OCGol,所以AD，平面OCGA,又因为DCU平面。CCA,所以AO_LZ)C.(2)解：DiD=DiC=yf5,AB=2BC=2.取E,尸分别为。C,A8的中点，连接EZjEF,因为EF"AD,AZ)_L平面OCGO,所以"1平面。CCQ,因为RD=DC,所以_LOC,所以以E为原点，EF,EC,EDi所在直线分别为XXz轴,建立如图所示的空间直角坐标系，因为DID=DIC=下,AB=2BC=2,则EA=2.则C(0,l,0),D(0,-l,0),(0,0,2),B(LLO),设AP=；IRB(Oll),gpD1P=2(1,1,-2),可得P(Z42-24),DC=(0,2,0),CP=(Z"1,2-24),设平面PCO的一个法向量"二(,y,z),DC=2y=O则有I,nCP=x+(-l),y+(2-2)z=0z=t则x=2/l2,y=0,得"=(24-2,0,九)，又平面BCO的一个法向量m=（0,0,1）,因为二面角P-8-8的大小为,4IIw>/2川州IMHl（2-2）2÷42，2整理得，322-82+4=0,解得4=屋或4=2（舍）,所以AP=BAB,则P8=g,有黑的值为2.18.在平面直角坐标系XQy中，抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,E的准线/交X轴于点K,过K的直线/与抛物线七相切于点A,且交V轴正半轴于点R已知E上的动点3到点F的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3.(1)求抛物线E的方程；(2)过点P的直线交E于M,N两点，过且平行于)，轴的直线与线段QA交于点T,点满足MT=T7/.证明：直线HN过定点.(1)解：设8(%,%),%20，由题意知准线/：X=-5，尸(5,0)，由抛物线的定义可知点8到点尸的距离等于点8到准线/的距离，所以点8到点F的距离与到直线X=2的距离之和为为+/+2=2/+2+,由题意知当Xo=O时，距离之和最小，所以2+£=3,解得=2,2所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)证明：由(1)知K(T,0),设AK:x=my-l,联立方程42,，得y-4my+4=0,y=4x由=()得16，2一16=0,解得帆=±1,又与)'轴交于正半轴，所以6=1,由y2_”+4=0解得尸2,所以点A(l,2),所以直线。A:y=2x,所以直线AK:y=x+l,所以P(O,1),因为MN斜率存在且不为零，所以设MMy=ZK+1仕H),M(,y),N(x2,%),联立卜二,J，消去"，得益2-4y+4=0(A0),y=xI1则A=16(lZ)>0,所以2<1且AwO,.4乂+必=%=工，又直线0A:y=2x,令x=,得y=2x,所以7(8,2%),因为MT=TH,所以“(X，4占一%),所以直线N“的方程为一=甯Nf),所以y=M+%_4%X+%_彳2（凶+%-4芭）=y+%-4xX+3一N力-4凹/一七与一不X2西因为4中27必一再乂=4xx?x%?%=牛)1%-(+%)=0,所以直线M/为y=y+)：4入、,所以M/恒过定点(0,0).X2Xl19.今有一个“数列过滤器“，它会将进入的无穷非减正整数数列删去某些项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列，每次“过滤”会删去数列中除以M余数为N的项，将这样的操作记为UM,N)操作.设数列4是无穷非减正整数数列.(1)若见=2"TwN+,%进行2,1)操作后得到他,设4+2前项和为SZI求S17.是否存在p,q,rN+,使得Sp,J,S,成等差？若存在，求出所有的(PM")；若不存在，说明理由.(2)若%=,wN,对q进行L(4,0)与L(4,l)操作得到“,再将他中下标除以4余数为0,1的项删掉最终得到1证明：每个大于1的奇平方数都是,中相邻两项的和.解：(1)由4,=2"TwN+知：当"2时N+,故=2"N+.贝电二3七2i=3(2"-l)N+.i=l假设存在，由S单调递增，不妨设PVqVr,2Sq=SP+S,p,q,rwZ化简得2"*=1+2F,显然左式为偶数，右式为奇数，矛盾，故不存在.(2)易知7%=43,包-2=4-2,i=4-1,所以保留。4-2，。4”-1，则处_=4-2,%J=4w-l.又加M=8+2,¾+2=8/2+3,=8+6,¾,r+4=8+7,将处,+1删去,得到Cn,则c2b+1=Sn+3,c2rt+2=8+6N+85,=2k1Sn-2,n=2k记=幺P,下面证明：(24+1)2=q+q+L由=85+2加，4m+=8w2+6m+1,m+2=Sm2+10w+3,rm+3=Sm2+14/72+6,知："Jcwi=÷2m+Cf=8(4病+m)-2+8(4m2+m+l)=2(4m)+12+Jei+08“+6/1+Cw2W,n+2=12(4/7+1)+12,同理可得：CkL=(2(4n+2)÷l2,e÷1=2(4w+3)+112,合并以上四式，便证明了对任意的AeN-,都有(2Z+l)2=q+q+.因此，原命题得证.