平面向量六大微专题.docx

平面向量六大微专题：从高考到联赛在高考向量压轴题目中，等和线，极化恒等式，矩形大法这些的命题背景都有所涉及，因此，本文就系统总结了平面向量的六大微专题，从高考模考的一些向量压轴试题入手到各地预赛，联赛题目汇编，希望通过此项工作，为后续的高考备考和联赛复习做好相应的准备.微专题1.等和线及应用微专题2.极化恒等式微专题3.矩形大法微专题4.三角形四心向量表示微专题5.奔驰定理微专题6.向量隐圆微专题1.等和线及应用如图所示，由于A,PI三点共线，故OA=4Z+"b当且仅当l+M=l进一步，若OQ=mOA+nOB=(w+n)(OA+OB)=(m+n)OP=kOP.m+nm+n由于点P在直线AB上的任意性可知，点Q所动成的直线C。平行于直线AB,且直线CQ上任意一点都满足用=3故称直线Co为等和线.此时AQAB相似于AOCQ,因此，我们就可以取特殊情形，即过三点OPQ的直线分别垂直于A8,CQ时，计算hOP = kOQ例1.（2017年3卷）在矩形ABCO中，AB=VAD=I3点P在以C为圆心且与8。相切的圆上，若/=几45+乂3,求4+4的最大值.解析：如图，由等和线性质可知，丸+=”，显然，当8。的平行线/与圆在最上方相切时,E义+取最大，显然此时，直线3。的方程为-+2y-2=0,故可取IAEl为点A（OQ）到直线8。的距离IAEI=由于8。的平行线/与圆（工-+-炉相切，故可得/的方程为x+2y-6=0,那么取IAPl为点A（0,0）到直线/的距离IAEI=A.这样就可得到45(%+ Mmax =AE练习1.（2021绵阳三诊）已知点尸为抛物线E:/=今的焦点，C（0,-2）,过点尸且斜率为1的直线交抛物线于A,B两氤,点P为抛物线上任意一点，若CP=mCA+KB,则加+的最1 - 3A.练习题1.在矩形48CD中/8=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与8。相切的圆上.若”=2A8+44O,则4+4的最大值为（）A.3B.2y2C.5D.22 .如图正六边形28CDEF中，P点三角形CDE内（包括边界）的动点,AP=xAB+yAF,则x+V的取值范围是.3 .己知在平行四边形ABCD中，M,N分别是边BCfCD的中点,4W与BN相交于点P,记=AB，b=AD,用。涉表示AP的结果是（）12243242AAP=-d+-bB.AP=-d+-bC.AP=-d+-bD.AP=-d+-b55555555武昌区2021届高三年级1月质量检测12题（多选）4 .如图所示,在凸四边形ABCD中，对边BC,AD的延长线交于点E,对边AB,DC的延长线交于点 F,若 8i = 4C, ED = DA, B = 3BF(i > 0) f 则(31A. EB = -EF+-EA44C. y + -的最大值为1 B. = 一4D.EC AD 4EBEA 92021, 3月深圳红岭中学二模第7题AR2AC5 .在力BC中，AC_LAB,力5=3,力C=L点P是力BC所在平面内一点，AP=+ABAC且满足IPMl=2,若AM=XAB+），AC，则3n+y的最小值是（）.A.3+22B.2C.1D.3-226 .给定两个长度为3的平面向量OA和OB，它们的夹角为120。，如图所示,点C在以O为圆心的圆弧48上运动，OC=xOA+yOBf其中乂ywR,则"+V的最大值是；2x+y的最大值是.2021.4湖北部分重点高中高一联考第12题（多选）7 .直角梯形ABCQ中,8J_CD,ADHBCA8。是边长为2的正三角形，P是平面上的动点,I而|=1,AP=AAD+AB（,7?），则几十的值可以为（）A.0B.lC.2D.3浙江省杭州市学军中学2020高一期中第8题8 .如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设AE=XAZ）+yAP（x,ywR）,则2x+y的最小值为（）A.-1B.1C.2D.32020江苏高考第13题9 .在aABC中，AB=4,AC=3,ZBAC=90o,D在边BC上，延长AD到P,使得AP=9,若PA=仅P百+（IPC（m为常数），则CD的长度是2021.4江苏常熟市高一期中第16题10 .如图，在菱形45CD中，4B=3,ZBAD=QOo,瓦尸分别为8C,C。上的点，CE=IEB.CF=2FD,若线段EF上存在一点M,使得AM=gA8+XAOaER),则X=AMBD=.2021.4成都七中高一期中第12题11.如图，点C是半径为6的扇形圆弧AB上一点，OA-OB=-Sf若OC=XoA+y08，则3x+2y的最大值为（）A,坦B.巨C,旭D,且3333答案解析:全国高考3卷第12题CBL在矩形48CD中,48=1, AD=2,动点P在以点C为圆心且与8D相切的圆上.若A蚱之A班么/版,则；I+ 4的最大值为（A. 3B. 22C. 5【答案】A【解析】设丽=aM瓦&（。收），则AM=信口+也tt设 APWAM，贝IJ AB + AD = AB + AD , + = ta+。+1而t=APAM/=1 +"AM AGEPETPE过点C时取最大值，则PE2AG,-2,则z3AG2.如图正六边形Z8CDEF中，P点三角形CDE内（包括边界）的动点，设点=X跖+），乐,则+的取值范围是AP【答案】3,4【解析】令4P=fA。,易证x+y = f, /=AQ丝=1+”AQ AGr3,43.己知在平行四边形ABCD中，N分别是边BC1CD的中点,4W与BN相交于点P,记 = AB，b = AD »用。涉表不AP的结果是（）12243 2AAP = -a + -bB.AP = -a + -bC.AP = -a+-b55555 5【答案】B42D. AP = -a + -b 55解析】AM交BD于Q,易知2BQ = DQ ,21所以AQ = A8 + §AD （分点定比恒等式）设AAQ, />1,则有AP（AB+ "。，故选 B【法二】延长BN, AD交于点E4 142AP=-AB+-AE=-AB+-AD5 555a【法三】过M, D作BN平行线4"1 A 4 2易知 AP=-AM = a + -b = -a + -b55（ 2 J 5 5武昌区2021届高三年级1月质量检测12题（多选）4.如图所示,在凸四边形ABCD中，对边BC, AD的延长线交于点E,对边AB, DC的延长线交于点 F,若3d = ；IC£，ED = NDA ,AB = 3BF(,>0)f 贝IJ (31A. EB = -EF + -EA 44B. =-4c 3+2的最大值为】EC AD 4D. EB EA 9【答案】ABD【解析】显然A正确，注意规律（分点恒等式）对于B选项：FD =1 c,c, e, FE + FA2FC =FE +1 + 4FB（分点恒等式）FD - tn FC => <1 =W + 1 + 241=m1 + /1 ÷ 1=>=4l + I + 4n/U=；（三点共线定理），故B正确补充：也可以同梅涅劳斯定理求出B选项.对于D选项:4>1,故C错误;对于C选项：- EC ADEB EA (l + )(l + )4IT而诉一一鼠故D正确2021.3月深圳红岭中学二模第7题12 .在力Be中，AC.LAB,4B=3,C=f点尸是BC所在平面内一点,Q=箭爵且满足=2,若初"+“，则”的最小值是（）.B. 2C. 1D. 3-22【答案】D【解析】若月为原点，则？（1,2）,M在以P为圆心，半径为2的圆上取D(L0),则有AM=3xAD+yAC,AM交CD于N,记AM=tAN，则有3x+y=/maxAMAN、MN,MG,2+2rc6=1+=1+1+-=3+22_AM MN薪=而= A2VAH2ANAH213 .给定两个长度为3的平面向量。A和。B，它们的夹角为120。，如图所示,点C在以。为圆心的圆弧AB上运动，若OC=XQA+）。3,其中x,yR,则+、的最大值是；2+y的最大值是.【答案】【解析】(I)AB交CO于D,设。C=fOZ)"(,+oo),易证x+y=fOCt=,当OZ)_LAB时，f取最大值，f11m=2;OM(2)取OA中点E,则OC=2x2+yO3OC交BE于F,设OC=mOEmW(O,y)，易证2x+y=f，二写，当OC时，取最大值，rmax=3普.2021.4湖北部分重点高中高一联考第12题（多选）14 .直角梯形ABCQ中,CBJ_CD,ADHBC,ABD是边长为2的正三角形，P是平面上的动点，I而|=1，设而=义而+蕊(4zR),则几+的值可以为()A.OB.lC.2D.3【答案】BC【解析】如图浙江省杭州市学军中学2020高一期中第8题15 .如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设AE=xAD+yAP(x,y三R),则2x+y的最小值为()A.-1B.1C.2D.3【解析】取AD中点F,则AE=2"F+y"(x,yR)直线FP交AE于G,设AE=tAGFPG三点共线AG=mAF-m)APAE=tAG-tmAF+/(1-w)APIAElAE=IxAF+yAPIAGl当P在第中点时，G与E重合，此时t取到最小值，%n=l2020江苏高考第13题16 .在AABC中，AB=4,AC=3,ZBAC=90o,D在边BC上，延长AD至IjP,使得AP=9,若PA=mPB+I一0PC(m为常数)，则CD的长度是【答案】0或身5【另解】如图，以4为坐标原点，分别以力B力C所在直线为j，轴建立平面直角坐标系,则用4,0),C(0,3),由EJ=/7¾+1-"J元",得P=zn(PA+48)+(1一所)(PA÷AC),整理得：京=Tm茄+(2加-3)AC=2制4,0)÷(2w-3)(0,3)=(-8w,6w9).27由P=9,得64/+(6加-9)"=8L解得加=嘀或加=0.当机=0时，75=(0,-9),此时C与D重合，IcDl=0;2796m当"2=25时，直线。的方程为J=8mx>£直线BC的方程为7+3=1，8联立两直线方程可得=a%y=3-2次.(7f21V18=Vl25J2÷l25"3J2='5"18.CQ的长度是O或百.18故答案为：O或亏.2021.4江苏常熟市高一期中第16题17 .如图，在菱形/BCD中，48=3,ZBAD=QOo,EZ分别为8C,CO上的点，CE=2EB,CF=2FD若线段EF上存在一点M,使得A府=gAQ+r4Z5(xR),则X=,AMBD=.【解析】AM3O=(gA8+'甸(AO-AB)=fB+AD(AD-AB)1-25-21=AB+-ADABAD2639153+222_322021.4成都七中高一期中第12题18.如图，点C是半径为6的扇形圆弧AB上一点，QA.。8=-18，若OC=XoA+）05，则3x+2，的最大值为（）A.酒B.叵C.旭D.叵3333【答案】C【解析】取OA的三等分点，取OB的中点，下略微专题2.极化恒等式fTTT(a+b)2=a2+b2+2ab9(a-b)2=/+一2?两式相减可得：4ab=(a-b)2-(a-b)2特别，在ABC中，设=A=AC,点M为3C中点,再由三角形中线向T22公式可得：ABAC=AM一一BC.4例2.(2017年2卷)已知ABC是长为2的等边三角形，P为平面AHC内一点,则PA(PB+PC)的最小值是()A.-2B.C.-D.123解析：设点M为BC中点，可得P%+p"=2pA/,再设AM中点为N,这样用极化恒等式可知：PAPM=IPN-AM,在等边三角形A8C中，AM=B>>>>->2O>故PAPM取最小值当且仅当P4PM=2PN-万取最小，即IPNl=0,故fT3(PAPM)min=-.练习2.(2021成都三诊)已知等边ABC的三个顶点均在圆F+y2=4上，点p(3,6),则pa.尸8+PAPC的最小值为()A.14B.10C.8例3如图所示，矩形ABCo的边A8=4,AZ)=2,以点。为圆心,CB为半径的圆与CO交于点E,若点P是圆弧E8(含端点仄E)上的一点，则萩PB的取值范围是.【答案】8-8,0【分析】取A8的中点设为0,则尸4.28=。0|2-；,42二|尸0一4,然后利用平几知识确定P。的取值范围，代入即可.【解析】取AB的中点设为。则尸AP8二0O一；,8二|PO一4,当O、P、C共线时，Po取得最小值为PO=2五2；当P与8（或E）重合时，PO取得最大值为P。=2,所以2/4,8的取值范围是8-8阪,0.例4半径为2的圆。上有三点A,B,C,满足。4+A8+Ae=0,点尸是圆内一点,则PAPO+PB+PC的取值范围是（）A.-4,14）A（Tl4CH4）【答案】A【分析】直接两次使用极化恒等式即可.【解析】由。A+A8+AC=0得A8+AC=AO在平行四边形ABOC中，OB=OC,故易知四边形ABOC是菱形，且BC=设四边形ABoC对角线的交点为E.212>由极化恒等式得尸APO=PE-AO=PE-4PBPC=PE2-LBC2=PE?-34所以PAPO+PB+PC=IPE-4因为P是圆内一点，所以0pq<3所以-42P后2-4<14，即-4PAPO+P8+PCvl4,选A.在AABC中，Ae=28C=4,NACB为钝角，M,N是边AB上的两个动点，且MN=1,若%/ cM的最小值为3，则 COSNACB=【答案】l-353【分析】取MN的中点P,由极化恒等式将"CMOV的最小值为巳”转化为A8边上的4高C"二l,然后利用两角差的的余弦公式求解.【解析】取MN的中点P,则由极化恒等式得CMCN=同-YCMCN的最小值公CpL=1由平几知识知：当CPLAB时，CP最小.如图，作CH_LAB,H为垂足，!WCH=X又AC=28C=4,所以NB=30o,sinA=-所以 CoSNACB=COS (150° -A)l-3584练习3.（2020成都二诊）已知所为圆（工-1）2+（），+1）2=1的一条直径,点加（乂田x-y+lO,的坐标满足不等式组2x+y+30则MEMr的取值范围为（）yl."o"17A.-,13B.4,13C.4,12D.-J2联赛真题汇编：练习4.（2016年陕西预赛）设&是同一平面内的三个单位向量，S.dlb,则（2-4）（。-）的最大值是（）A.l+2B.l-2C.5-1D.1练习5.（2018浙江预赛）设河卜10.若平面上点，满足，对于任意fR,有APTA33,则pa丽的最小值为,此时R4+P3=.-166练习6.（2014河南预赛）已知P为椭圆4+4=1上任意一点，"'为圆V:（X-1）2+y2=4的任意一条直1615径，则PEPP的取值范围是.5,21微专题3.矩形大法本节主要讲述矩形的一个重要性质即：设点P为矩形48C。所在平面内任意一点，则有尸川+尸二尸夕+尸斤.注：可用向证，证明略.例3.（2021绵阳二诊）直角坐标系g，中，OP=2,点氏。为圆/+/=微上的动点，且以BC为直径的圆过点P,则AOBC面积的最小值为A.2B.4C.6D.2解析：如图，构造矩形8PCQ,贝Ijop2+o2=o82+oc2,即OQ2=16,则0在以。为圆心，半径为4的圆上.同时，由矩形对角线相等可得：BC=PQ9设PQ=2d,JMP。的取值范围为4-2"4+2五,故d2-/2+血.由BC=PQ=2d,再根据垂径定理可得SAOAB=f（d）=1BC12-J2=J12-J2,J2-2,2+2,最后，讨论函数/的性质可知，（5的8焉=2.练习4.B«1HC1:X2+J2=9,C2:X2+y2=4,定点P（IQ）,动点A,8分别在圆G,C?上运动且满足4P8=9（y,则线段A3的取值范围为.23-l,23+l微专题4.三角形四心一重心：三角形三条中线的交点，重心为o=6uo%+ob=6证明：G是C所在平面内一点，d+而+Sf=O=点G是a胸的重心.证明:作图如右，图中为+公=近连结祐和明则归祖啊?C。阿龙为平行四边形是8C的中点,9为W边上的中线.将无+f=?代入而+葩+氏=0,得晶+而=On苏=-5=-2丽，故G是4ABC的重心.(反之亦然(证略)例4.P是C所在平面内任一点.6是448C的重心oPG=-(PA+PB+PC).3证明7g=7a+AG=B+BG=Tc+CG=>3PG=(AG+BG+CG)+(PA+PB+PC)TG是脑的重心BGA+GB+GC=0=>AG+BG+CG=0,即3记=说+而+正由此可得记=g（匹+而+记）.（反之亦然（证略）例5.如图，已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB,AC两边分别交于%N两点，RAM=xAB9AN=yAC,则+'=3.Xy证点G是A3C的香心，知GA+G8+GC=0,得一AG+(A8-AG)+(AC-4G)=O,有AG=g(A3+AC).又%N,G三点共线(A不在直线MN上)，于是存在人，使得AG=丸AN(且/1+4=1),AG=xA+juyAC=(AB+AC)9%+=1得，1,于是得！+'=3x=y=-Xy二.外心：三角形三条中垂线的交点.外心2«22OA=OB=OC<>OA=OB=OCo(+Z)A%=(+)A=(<+<A)C4L例6.如图，。为A3C的外心，证明：111.AOAB=5A32；A。AC=5AeT,同理可得BOBC等.D.e3.若SABC外接圆的圆心为。，A8=6,3C=7,C4=8,则>>>>>OAAB+OB-BC+OCCA=三.内心.f->T>T->一三角形三条角平分线的交点.内心为。OBC0A+CAOB+B.OC=O例7.。是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足P=A+（4+4S）45）则P点的轨迹一定通过A3C的（）ABACA.外心B.内心C.重心D.垂心解：因为普是向AB的单位向设AB与AC方向上的单位向分别为MG和2，又丽-凉=而，则原式可化为Q=&G+6）,由菱形的基本性质知AP平分/5Aa那么在ABC中，AP平分NAAa则知选B.四.垂心：三角形三条高线的交点.垂心为。=61=CA=Ob&例8.点”是羔C所在平面内任一点，而丽=丽.元=瓦.而。点”是C的垂心.由瓦丽二班瓦=班.（比-而）=00班/=O=丽_1记同理府，而，瓦.故，是C的垂心.（反之亦然（证略）练习3.已知为ABC的垂心，AB=49AC=6,为边8C的中点,则HMBC=A.20B.10C.-20D.-10联赛真题汇编：1. （2018辽宁预赛）PQ已知点P、Q在ZkABC内，且PA+2P3+3尸C=2QA+3P8+5PC=0,则等于.AB2. （2018安徽预赛）设H是aABC的垂心，且3,4+443+5。=0,则CosZAHB=.-必63. （2018湖北预赛）设G为ABC的重心，着BGtCG,BC=丘,则AB+AC的最大值为.254. （2019高中数学联赛）平面直角坐标系中，e已是单位向,向量满足g=2,且25q+招对任意实数亡成立，则Sl的取值范围是.5,255. （2019甘肃预赛）AABC的三边分别为0,"c,点O为A8C的外心，已知b2-2b+c2=O9那么A0的取值范围是.卜W?）6. （2019贵州预赛）a（tanA+tanB）tanC1/C中，GA+GB+GC=0,GAG3=（）.则I=-tanAtanB27. （2019福建预赛）已知为4/C的内心，且5A=4（3+C）记/?、，分别为448C的外接IIk内切圆半径，若r=15,则e.32微专题5.奔驰定理奔驰定理：点。是A3C所在平面上不与A3,C重合的一点，若xOA+yOB+zOC=O,xyzO,则SWC04+SAoABOC+SA(MC08=O,即%5C:SAQA8:SeMe=x：y：Z.反之亦然.证明：只证”,y,z>O的情形，其它情形可类似证明.如图1,由xOA+yOB+zOC=OAO=-(-OB+-OC)9.=1,.Xy+zy+zy-zy+z。使得 0。= -08 + -?-Ogy+z y+z且 IBDI = Z DC yB平而，倜甘.黑姐= !x 2±i = ! j 同理有= SSBC y + z x + y + z x+ + zSmbc x+y + zSAOeA = ySMBC +y+zSAOBC ' SAoAB:SoAC = X ： y ： z,命题得证2.三角形四心的向表达如图2,。为AABC内一点，设,b,(分别表示BCCA,AB的边长，则(1)0为A3C的重心OQZ+0%+Ob=6;(2)。为43。的外心05抽24&+$亩28。+$皿2。02=6;(3)0为A8C的内心OaA4+/?方8+cdc=d;(4)。为A3C的垂心OtanA6utan8(+tanC2=6.这样，我们就以奔驰定理为基本依次推出了三角形四心的向形式，下来，我们将重点介绍四心向量形式的应用.二.联赛中的应用例1(2021重庆联赛)已知点”为A3C的垂心，且满足心+24%+6=d,则角3=.例2.(2020四川联赛)设A8C的外接圆圆心为。，且3&+40+502=d,则角C=.例3.(2018河南联赛)已知点尸在，ABC内，且满足"=:A8+!aC,设./BC、，,Pc4、的34面积依次为、S2、S3f则S1：S2'S3=.（2018河北联赛）设O为三角形ABC内一点，且满足关系式:2里AoBT/U里BOCTJ2.CCM二ABC参考答案：【解析】由于点是&48C的垂心，则例tanA-HA+tanBHB+tanCHC=0所以tan/=-=-XtanJtantanC=tanJ+tan5+tanC,所以tan8=6.即8=1.(pb-pa)+-(pc-pa)例2.解析:sjn2A：sin2B:sin2C=3:4:5,例3.解析：因为AP=LA8+,aC=34所以5P4+4P8+3PC=0,所以S:S22t=5:4:3.例4.解析：将OA+2OB+3OC=3A+2BC+CA化为30A+0B÷2OC=O，(OA+OB)+2(OA+OC)=0.设M、N分别是AB、AC的中点，则OM=-20N设AABC的面积为S,由几何关系知S8OC=s,SAoH=gS,saoc=7s,2*3*6SAeB+2Soof-÷3Sca11r-AUod(JL.CCM_所以Q_T*J,A6CO练习题Uiir1innIlUll1.己知点M是q48C所在平面内一点，AM=-AB+-ACf则IABM与二BCM的面积之比为()854A.-B.-C.2D.一3232.己知。是二ABC内部(不含边界)一点，若SAABD:SMCD:S以。=5:4:3,4。="+yAC,则+y=()2 37A.B.-C.D.13 4123.已知平面向量°,/2,c，满足W=W='=2,且(-2c),一C)=0,贝小一4的最小值为（）4.在平面直角坐标系XQy中，已知平面向量,6满足£=（1，6）,|。+卜4,则W的取值DYA.与1范围是（）A.23, 6B. 2,23C. 2,6D. 1,235.已知点P是一ABC所在平面内的动点，且满足OP = OA+ 4ABACliI+j(2>0),射线AP眄Hl与边BC交于点D,若N8AC=4，D=1,贝UWCl的最小值为（）B. 2C. 23D. 436 .点P是菱形ABC。内部一点，若2尸A+3P3+PC="则ABCO的面积与一Q4C的面积的比值是（）A. 6B. 8C. 12D. 157 .己知点。为正AABC所在平面上一点，且满足OA+lO6+（l+4）OC=0,若-QAC的面积与。AB的面积比值为1:4,则冗的值为（）A 1A. 2C. 21B.一3D.38 .已知d,b，©是平面向量，。与d是单位向量，Male,向量b满足4Z-8e+3=0,则-bI的最大值与最小值之和是（）B. 23C. 4D. 259.己知平面向量","c满足|4 = 2忖=小=4,(c-a)(c + ) = -3,贝川C-4的最小值为(A. 2-lB " 1 D.12C. 5-2D. 7-210.已知点。为.ABC外接圆的圆心，角4B, C所对的边分别为。，b, C,且 = 3,若130AC=2则当角C取到最大值时'A4C的面积为（）A. 5B.25D. 5c.io11.己知平面向量a、可满足M=1,且a与a的夹角为150,若c=（-t）a+tb（teR）,则H的最小值为（）A.1B.-C.4D.立422（ABACABAC112非零向量WAC满足两+而）40,且网同=，,贝I，。为（）A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形13 .在MABC中，斜边BC长为2,O是平面ABC外一点，点P满足OP=QA+g（AB+AC）,则IAPl等于（）A.2B.1C.yD.4214 .在aABC中，A8=AC=2,点满足8M+2GW=0,若BCAM=,则BC的值为（）3A.1B.-C.2D.3215 .在-ABC中，设aC2-ab2=2AM8C,那么动点M的轨迹必通过AABC的（）A.垂心B.内心C.外心D.重心参考答案1. C【详解】不妨设入A8C中，NA=90,边长c=2,边长6=3,以A为原点、A8为X轴、AC为y轴建立平面直角坐标系A8=(2,0),AC=(0,3),设M(X,y),则AM=(x,y)AM=-AB+-AC=-(2,0)+-(0,3)=(U)2323可得F='故M(l,l)y=lAABM的面积为;x2l=l,.BCM的面积为×2×3×3×1×2×1=一2222-1=2则二AaM与,.BCM的面积之比为！2故选：C2. A【详解】如图，连接AD并延长交8C与点M,设点B到直线AD的距离为九,点C到直线AD的距离为人,因为S&ABD',BCD'SzCAD=5：4：3,所以设SAAbd=5%,SdBCD=4k,Scd=3k,因为AM与向量八。共线,设AM=4AO=AxAB+AyACtBM=BCt.AM=AB-BM=AB+BC=AB+ju(C-AB)=(l-z)AB+zAC,所以匕j,gP+y=l三+=-,AMAD+DM=ADAD_(AD+DM)×(d+dc)AD×(d+dc)=x4+3-x%+Wmx(%+4)=5a+3,公=3AD×d+AD×dc5k+3k2,I2所以x+y=7=23故选：A3. B【详解】因为H=M=j=2,所以c。中山六邮I=而二小因为O(b),所以«6)=微不妨设AaG),B(2,O),Cay),氏。8=(2,0),=OA=(1,6),C=OC=(XM，则b-C=(2,-y),a-2c=(-2yj3-2y,因为("2r),一C)=0,所以(2-x)(l-2x)-(J-2y)y=0,所以c=(,y)对应的点CaM是以M：岑为圆心，半径为R=4的圆,所以|"4的最小值为IMAlR=停一1J+(6-亭)-孝=吝立故选：B.【详解】根据题意，令方=(XM,f+=(x+,y+3),则,+目=，(彳+炉+1+6)=4,即(4+1+=16,因此(My)在C(T,-6)为圆心，4为半径的圆上，易知Ioq=2,故"TTw4-2,4+2,即Ww2,6.故选：C.5. C【详解】ABAC6)表示与AB共线的单位向量，同表示与4。共线的单位向量,ULmUUinABAC圈+陶的分向与NMe的平分线一致,IILffl IiIr Q0P = 0 + uin inmAB ACR+Rrnun Inr IRm .OP-OA = AP = A(um IIUD AB ACR+R所以点尸在“AC的平分线上，即A0为NBAC的角平分线,BD = ×sin- = sin B 3 sin B在AABO中，ZBD=y,D=1,利用正弦定理知:同理，在"8中，fAD.HCD=×sn-='÷',其中5+C=qsinC3sinCBC=BD+CD=-+SinBsinCW1分析可知当B=C=J时，BC取得最小值，即8Cmin=wx2=266sin6故选：C6. A【详解】如图，设AB中点为E,BC中点为F,因为2PA+3PB+PC=0,W2PA+2PB+PB+PC=0W1J4PE+2PF=O»即PF=CPE、则Spec=2Spbf=2×-Sbef="×5abc=xSabcd=Sabcdt所以AeeD的面积与/8C的面积的比值是6.故选：A.7. B【详解】OA+IOB+(1+2)OC=0,.OA+OC+(OB+OC)=0-如图，O,E分别是对应边的中点,ED由平行四边形法则知QA+OC=2OE，MOB+Oe)=2OD,故OE=-入OD，在正三角形ABC中,且三角形AOC与三角形Co8的底边相等，面积之比为g,“NOE11所以五=3'得故选：B8. A【详解】由4人2-8Z>+3=0f(2>-e)(2?-3e)=0,(占一彳)不妨设e=(l,0),则力的终点在以(1,0)为圆心，以3为半径的圆周上.因为&与d是单位向量，所以Ia-们的最大值是(0，D与圆心距离加即+最小值是(OJ)与圆心距离减;，即0-g,故和为2式.【详解】因为W=斗d=A=4,所以忖=4,何=2,cosH=4>因为。«词“，所以叫咚/LUUU1设OA=(2,0),OB=b=12,2小),OC=<?=(x,y),c-6f=(x-2,y),c+6=(x+2,2>5+y),所以(c一)(c+力)=(x-2)(x+2)+y(23+>')=-3,即X2+(y+T3)=4,所以点Cay)在以M(O,-退)为圆心，半径r=2的圆上，c-a=y(x-2)2+y2表示圆x2+(.y+G)=4上的点(x,y)与定点A(2,0)的距离,所以Ic-4的最小值为IM41-r=(O-2)2+(-3-)2-2=7-2,故选：D.10. D【详解】解：如下图所示：设AC的中点为。，BOAC=(BD+DO)AC=BDAC=(BC+BA)(BC-BA)因为=3,所以C=有，由CVa知，角。为锐角，所以CoSC=土土巴二U=史叫=!（3+zL2惇1=2,当且仅当="即6=2时,2ab6b6（力）6Nb3b_2COSe取得最小值H，因为y=8sx在（0,）上是减函数，所以此时，角C取得最大值，此时恰有/=从+°2,此时三角形A8C是直角三角形，所以S杈?=3A=3乂2乂6二正.故选：D.11. C【详解】如图所示，设AB=,AC=h,则5C5