博弈论作业和答案解析浙江财经大学张老师作业答案解析.docx

第1次作业1'考虑一个工作申请的博弈。两个学生同时向两家企业申请工作，每家企业只有一个工作岗位。工作申请规那么如下：每个学生只能向其中一家企业申请工作；如果一家企业只有一个学生申请，该学生获得工作；如果一家企业有两个学生申请，那么每个学生获得工作的概率为1/2。现在假定每家企业的工资满足：W12<W2<2W1，那么问：a写出以上博弈的战略式描述b求出以上博弈的所有纳什均衡(包括混合策略均衡)2、设古诺模型中有n家厂商。qi为厂商i的产量，QqIq2Lqn为市场总产量。P为市场出清价格，且PP(Q)aQ(当Qa时，否那么PO)。假设厂商i生产产量q的总本钱为CiCi(qi)cqi，也就是说没有固定本钱且各厂的边际本钱都相同，为常数c(ca)。假设各厂同时选择产量，该模型的纳什均衡是什么？当趋向于无穷大时博弈分析是否仍然有效？3、两个厂商生产一种完全同质的商品，该商品的市场需求函数为Q100P，设厂商1和厂商2都没有固定本钱。假设他们在相互知道对方边际本钱的情况下，同时作出产量决策是分别生产20单位和30单位。问这两个厂商的边际本钱各是多少？各自的利润是多少？4、五户居民都可以在一个公共的池塘里放养鸭子。每只鸭子的收益V是鸭子总数N的函数，并取决于N是否超过某个临界值N;如果NN，收益VV(N)50N;如果NN时，v(N)0。再假设每只鸭子的本钱为C2元。假设所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈的纳什均衡是什么？5、三对夫妻的感情状态可以分别用下面三个得益矩阵对应的静态博弈来表1,2)，该工程的产出为f(e1,e2)。个体的努力程度不影响到工程的分配方法，工程的产出在2个体之间均分。试答复以下问题：21、如果f(e,e2)3e1e2，c(e)i(i1,2)，试求此博弈的的NaSh均衡(即两个个体选择的最优努力程度)。2、如果f(e,e2)4ee2，c(i)e(i1,2)，试求此博弈的的NaSh均衡。第2次作业1'企业甲和企业乙都是彩电制造商，都可以选择生产低档产品或高档产品，每个企业在四种不同的情况下的利润如以下得益矩阵所示。如果企业甲先于企业乙进行产品选择并投入生产，即企业乙在决定产品时已经知道企业甲的选择，而且这一点双方都清楚。1)用扩展型表示这一博弈。2)这一博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？企业乙企业甲高档低档高档500，5001000，700低档700，1000600，6002、两个寡头企业进行价格竞争博弈，企业1的利润函数是22paqc)2q，企业2的利润函数是2(qb)2p，其中P是企业1的价格，q是企业2的价格。求：(1)两个企业同时决策的纯策略纳什均衡；(2)企业1先决策的子博弈完美纳什均衡；(3)企业2先决策的子博弈完美纳什均衡；(4)是否存在参数a,b,c的特定值或范围，使两个企业都希望自己先决策？3、考虑如下的双寡头市场战略投资模型：企业1和企业2目前情况下的生产本钱都是C2。企业1可以引进一项新技术使单位本钱降低到C1，该项技术需要投资f。在企业1作出是否投资的决策(企业2可以观察到)后，两个企业同时选择产量。假设市场需求函数为p(q)14q，其中P是市场价格，q是两个企业的总产量。问上述投资额f处于什么水平时，企业1会选择引进新技术？4、在市场进入模型中，市场逆需求函数为p=13-Q，进入者和在位者生产的边际本钱都为1，固定本钱为O，潜在进入者的进入本钱为4。博弈时序为：在位者首先决定产量水平；潜在进人者在观察到在位者的产量水平之后决定是否进入；如果不进入，那么博弈结束，如果进入，那么进入者选择产量水平。求解以上博弈精炼纳什均衡。5、在三寡头的市场中，市场的逆需求函数paQ5Q为三家产量之和，每家企业的不变边际本钱为C，固定本钱为O。如果企业1首先选择产量，企业2和企业3观察到企业1的产量后同时选择产量，那么均衡时的市场价格第3次作业1'两个人合作开发一项产品，能否成功与两个人的工作态度有关，设成功概率如下：BA努力偷懒努力9/163/8偷懒3/81/4再假设成功时每人有4单位的利益，失败那么双方都没有利益，偷懒本身有1单位的利益。问该博弈无限次重复博弈的均衡是什么？2、两寡头古诺产量竞争模型中厂商的利润函数为iqi(tiqqi)，i1,2。假设t1是两个厂商的共同知识，而t2那么是厂商2的私人信息，厂商1只知道t23/4或t24/5，且t2取这两个值的概率相等。假设两个厂商同时选择产量，请找出该博弈的纯策略贝叶斯均衡。3、两个厂商生产相同产品在市场上进行竞争性销售。第1个厂商的本钱函数为Ciq1其中q为厂商1的产量。第2个厂商的本钱函数为C2cq2，其中q?为厂商2的产量，C为其常数边际本钱。两个厂商的固定本钱都为零。厂商2的边际本钱C是厂商2的“私人信息”，厂商1认为C在132上呈均匀分布。设市场需求函数为P4qq2，其中P为价格，两个厂商都以其产量为纯战略，问纯战略贝叶斯均衡为何？。4、两个企业同时决定是否进入一个市场，企业i的进入本钱i05)是私人信息，是服从分布函数F(i)的随机变量以及分布密度f(i)严格大于零，并且I和2两者独立。如果只有一个企业进入，进入企业i的利润函数为mi；如果两个企业都进入，那么企业i的利润函数为di；如果没有企业进入，利润为零。假定rn和d是共同知识，且m>d>o，试计算此博弈的贝叶斯均衡。博弈论第1次作业答案1、a写出以上博弈的战略式描述学勺三B企业1企业2学生A企业111(W1,W2)22(W1,W2)企业2(W2,W1)(2W2,'2W1)b求出以上博弈的所有纳什均衡(包括混合策略均衡)存在两个纯战略纳什均衡：分别为(企业1，企业2)，收益为(Wl,W2)。(企业2，企业1)，收益为(W2,W1)O存在一个混合策略均衡：令学生A选择企业1的概率为p，选择企业2的概率为1p；学生B选择企业1的概率为q，选择企业2的概率为1q。当学生A以(p,1P)的概率选择时，学生B选择企业1的期望收益应该与选择企业2的期望收益相等，即：11p. W1(1p)W1p.W2(1p).W2解得：2W1W22W2W1%1PW1W2W1W2同理求出：11q. W1(1q)W1q.W2(1q).W2解得：2W1W22W2W1r. ,和IW2W1W2所以,混合策略纳什均衡为：学生A、B均以(W产m)W1W2W1W2的概率选择企业1，企业2。2、该模型的纳什均衡是什么？当趋向于无穷大时博弈分析是否仍然有效？各厂商的利润函数为：UiPqCi(aQ).qic.q(aQc).q(acqk)q求解：nmaxuimax(acqk).qq3k1对其求导，令导数为O，解得反响函数为：1qi2acqq2.qnq1.q纳什均衡(q，q；),必是n条反响函数的交点*1q1*2ac(q2*q3*q*11)q*22ac(qi*q3*q*n)1q*ac(qi*q*2.q；iqii.q"n)212i1i1n1q2ac(qi*c2.q*11)得至!J：.*acq1q2nm»且为唯一的纳什均衡°当趋向于无穷大时博弈分析无效。IImqinIimac效。10，此时为完全竞争市场，此时博弈分析无3、问这两个厂商的边际本钱各是多少？各自的利润是多少？设：边际本钱不变，为C，C2。计算得市场出清价格为：PP(Q)10OQ10O(qq2)两个厂商的利润函数为：UiP.qC1.q1(PC1).q1100Ci(qq2).q1u2P.q2C2.q2(PC2).q2lC2(q1q2)j.q2求解：maxumax100C1(qq2).q甲qmaxu2max100C2(qq2).q2对其求导，令导数为O，解得反响函数为：qR1(q2)21(100cq2)1q2R2(q1)2(1OOC2q1)纳什均衡(q，)，即(20,30)为两条反响函数的交点120(iq0C130)2130(100C220)得到：Ci30，C220。此时：Ui400，U2900。4、假设所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈的纳什均衡是什么？设居民i选择的养鸭数目为Di(i1,2,3,4,5)，那么总数为5NFli。i1假设：NN居民的得益函数为：5UiV.11iC.11i(Vc).11i(4811i).11ii1计算：5maximax(4811i).11iuiuii1得到反响函数：111iRi2421(12.11i111i1.05)5、反响函数的交点(n,2*,113*,4*,5*)是博弈的纳什均衡。将(11,n2*,3*,n/,5*)带入反响函数,得：;n42n3nn58。此时：Ui64。此时，N40然后讨论下N假设40那么NN，上述博弈成假设N40，那么Nn555、问：这三个博弈的纳什均衡分别是什么？这三对夫妻的感情状态究竟如何？活着-1'-11，O死J'O，1O，O用划线法得出三个矩阵的纳什均衡分别为：矩阵1:活着，活着死了，死了可以看出这对夫妻间感情十分深厚。这对夫妻同生共死，一个死了，那么另一个也选择死去。如果一个死了，一个活着，那么活着的将生不如死。矩阵2：活着，活着活着，死了死了，活着可以看出这对夫妻间感情一般。这对夫妻共同活着没有收益，个死了，对于另一个来说反而更好。矩阵3:(活着，死了)(死了，活着)可以看出这对夫妻间感情很槽糕。这对夫妻共同活着对双方来说是生不如死。一个死了，对于另一个来说反而更好。26、如果f(e,e2)3ee2，c(ei)ei(i1,2)，试求此博弈的Nash均衡(即两个个体选择的最优努力程度)。(2)如果f(e,e2)4ee2，c(e)e(i1,2)，试求此博弈的NaSh均衡。(1)收益为：32UI2f(l,©2)C(l)2l2vu2322f(1,2)c(2)e1¾-e22得出反响函数为：31Rl(e2)422 R2(1)341纳什均衡（&,e2）为两条反响函数的交点，代人得出：eO5eO两个人都不会努力的2)收益为:u1=2f(e1,e2)c(e)2e1e2e11U22f(e1,e2)c(e2)2e1e2e2分别求偏导：e1221e22i1一（V）d容一方越努力方就选择努力程度为0，此时,两仝/蛤力程度都与对方的努力程度有关高档/X彳工档此时纳什坦殿（0,0）LN档高才K%和7/111乙2时，双方收益均5最大值，款时纳什均衡为（2,2）1叫时，博弈一方越努力，另一方选择努力程度为1，此时纳什均衡为（1/）第2次作业答案1，1用扩展型表示这一博弈。2这一博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？运用逆向法，由乙先来选择，在两个子博弈中，乙选择红色所示的路径。再由甲选择，在高档，低档，低档，低档之间选择。甲选择绿色所示路径。最终的子博弈完美纳什均衡是高档，低档，双方的收益为1000,7002、1两个企业同时决策的纯策略纳什均衡；同时决策时，两个企业都为了各自利润最大化分别对各自利润求导，并令导数为011 2(PaqC)0P222(qb)0q解得：paqc1bqb2abc此时，两个企业同时决策的纯策略纳什均衡为企业1,2的价格为(aqc,b)(2)企业1先决策的子博弈完美纳什均衡；企业1先决策，那么企业2会在知道企业1的决策后，寻求自身利润最大化所以：222(qb)0Qqb22将qb带入I(Paqc)q(Pabc)b1 2(pabc)0Ppabc此时，b2 abc'跟同时决策时的纳什均衡相同企业1先决策的子博弈完美纳什均衡为企业1,2的价格为(abc.b)3)企业2先决策的子博弈完美纳什均衡；企业2先决策，那么企业1会在知道企业2的决策后，寻求自身利润最大化所以：5 2(qb)0paqc22将PaqC带入2a2(qb)p(qb)%abcaqc6 2(qb)Oqab2此时，a2pabc2a1b,2,222企业2先决策的子博弈a,bwr(ab,aabc)244是否存在参数a,b,c的特定值或范围，使两个企业都希望自己先决策？企业在先决策时得到的利润大于后决策时的利润时，会希望先决策企业1希望先决策：立abcabc0a,cab»企业2希望先决策：o2a结2，Cab7 、1企业1没有引入新技术1pc)q(I2q1q2)q2PC)q212qq2)q2求两个企业的利润最大化，只要对利润函数求偏导，并另偏导为0:122%q20；122q彳q02,得到：4，q24116,2162企业1引入新技术1(pc)qf(13qqa)qf2pc)q2(12qq2)q2求两个企业的利润最大化，只要对利润函数求偏导，并另偏导为011132qq20¾得到此时122q2q101411:q134»q213117p引入新技术使得企业1的利润不少于没有引入新技术前的利润，所以pc)qf1I6得到52,9时，企业1会选择引进新技术。4、(1)企业1的产量q，企业2以产量q2进入市场p13qq21(12qq2)q12(12qq224企业2后进入市场，那么企业2会在知道企业1的决产量后，寻求自身利润最大化所以：202q1q212 122 W1将q262%带入1(i2q1q2)q1，得d)(12q16q1)q1Oq2此时，q6,qa3118,s5(2)企业1的产量q，企业2以产量q2进入市场时利润为0，觉得不进入市场1(12q1q2)q12(12qq2)q24企业2后进入市场，那么企业2会在知道企业1的决产量后，寻求自身利润最大化所以：12q12q2Oq2121将q262%带入2(12qq2)q2,。，得q8或1(6舍去)132，此时，企业2不进入市场。5、三个企业的利润函数为：i(pc)qi(aq1q2q3c)qi,(i1,2,3)企业2和企业3观察到企业1的产量后同时选择产量2 (aqq2q3c)q23 (aqq2q3c)q3企业2和3均为了各自利润最大化选择产量，求解出各个的反响函数：22 aq2q2q3c0q233aq1q22q3cO¾aqc¾%，将反响函数带入企业1的利润函数，得11(aq1q2q3c)q13(aq1c)q1对其求偏导，求解出企业1利润最大时的产量11(a2qc)0q131acac得到:q三2c¾¾6此时：acacaca5cp三>26661、两个人的得益矩阵如下：第三次作业答案A下：偷懒努力(,52)偷懒(V2)(2,2)一次博弈纳什均衡为（偷懒，偷懒），无法实现帕累托最优（努力，努力）无限次博弈时，对于A，第一阶段选择努力，（1）假设前U时刻选择均为努力，t时刻也选择努力（2） t时刻选择偷懒，那么前面的行为均为偷懒5 2t52 Itim 2（2 .t）均衡，使AA，即，采取触发策略 力），合作产生。241到达（努力，努力）这个2均衡为（努力，努2、假设：厂商2在t2 3/ 4时，产量为¾ ，利润为2 ；厂商2在t24 / 5时，产量为q2 ，利润为2对于厂商2来说，分别具有50%的概率得到以下的利润22(2 42 (43y1 qq)44qi2)对于厂商1来说，利润为11El别 Iqq2)q q1q2)求解上面三个式子的一阶导数，并令其为零，得到34 q2q2O45 q2q21112c2q22q20但到984147行到.吗i240a½40该博弈的纯战略贝叶斯均衡为，厂商1的产量为q29，厂商2在fe34时，产量为q2Mt24/5时，口2,2402240考虑到C在132上呈均匀分布，f(c)1,E(c)3f(c).c.dc12对于厂商1，IPqIC(3q1q2)q1对于厂商2，2pq2C2(4qq2E(c)q22(3q1q2)q2对于厂商12的利润函数求一阶导数，并令其为零得到qq21该博弈的纯战略贝叶斯均衡为，厂商12的产量均为14、假设：此博弈的贝叶斯均衡为企业1,2的本钱为(1,2)企业1,2的收益矩阵如下列图：21进入不进入进入(1,2)(m,0)不进入(0.m2)(0.0)对于企业1来说当打，企业1选择进入；当打，企业1选择进入企业1进入的概率为1f()d1F(1)不进入的概率为1F(1)企业2进入的期望收益为u2F().(d2)(1F(1).(m2)不进入的期望收益为U2O企业1进入的条件为U1U2所以2*F().(dm)因为该博弈是对称的所以1*F(2).(此博弈的贝叶斯均衡为企业1,2的以概率(F(1),F(2)进入均衡的本钱为2*F().(dm)m,F(2).(dm)m(F(l),F(2)中为1*,2根据企业开口桃曙的要求向K他对人力机理送行台坦比置通及对企业中例工的招腭培训Hf用学校评伊则爵股等一系列泛区归发动工他枳僦性发挥处上世需求,力企生做他价倒。保企如旗站目怀外实现清书是朴野人钠之术M甫的樗便人或曾人生的锄法李白的小快人软相白场的即攵诂修出的文JR便人从清杜公的耐法巴纣夕文或便入族刊术来的梏业葬一本书跖足个明女敢会我行知何去制片人生俟书是人生的一门不禁少的功保向读书布H传人生助我们目?人生的计一步