概率论和数理统计重要公式.doc

.一、随机事件与概率公式名称公式表达式德摩根公式,古典概型几何概型,其中为几何度量长度、面积、体积求逆公式加法公式P<AB>=P<A+B>=P<A>+P<B>-P<AB>当P<AB>0A、B互斥时,P<AB>=P<A>+P<B>减法公式P<A-B>=P<A>-P<AB>,时P<A-B>=P<A>-P<B>条件概率公式乘法公式全概率公式从原因计算结果贝叶斯公式逆概率公式从结果找原因两个事件相互独立；二、随机变量及其分布1、分布函数概率密度函数计算概率：2、离散型随机变量及其分布分布名称分布律0-1分布Xb<1,p>二项分布<贝努利分布>XB<n,p>泊松分布Xp<>3、续型型随机变量及其分布分布名称密度函数分布函数均匀分布xU<a,b>指数分布XE<>正态分布xN<>标准正态分布xN<0,1>一般正态分布的概率计算公式分布函数对离散型随机变量对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：4、随机变量函数Y=g<X>的分布离散型：,连续型： 分布函数法,公式法h<y>是g<x>的反函数三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量及其分布分布律：联合分布函数边缘分布律：条件分布律：,联合密度函数2、连续型二维随机变量及其分布分布函数及性质分布函数：性质：边缘分布函数与边缘密度函数分布函数： 密度函数：条件概率密度,3、随机变量的独立性随机变量X、Y相互独立,离散型： ,连续型：4、二维随机变量和函数的分布<卷积公式>离散型：注意部分可加性连续型：四、随机变量的数字特征1、数学期望定义：离散型,连续型性质：, ,当X、Y相互独立时：<正对逆错>随机变量g<X>的数学期望2、方差定义：性质：,当X、Y相互独立时：3、协方差与相关系数协方差：,当X、Y相互独立时：相关系数：,当X、Y相互独立时：<X,Y不相关>协方差和相关系数的性质：,Cov<x,a>=0<a为常数>,4、常见随机变量分布的数学期望和方差分布数学期望EX方差DX0-1分布 pp<1-p>二项分布 npnp<1-p>泊松分布 均匀分布 正态分布 指数分布 五、大数定律与中心极限定理1、切比雪夫不等式若对于任意有2、大数定律：切比雪夫大数定律：若相互独立,且,则：伯努利大数定律：设nA是n次独立试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,则,有：辛钦大数定律：若独立同分布,且,则3、中心极限定理列维林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量,均值为,方差为,当n充分大时有：棣莫弗拉普拉斯中心极限定理：随机变量,则对任意x有：近似计算：六、数理统计的基本概念1、总体和样本的分布函数设总体XF<x>,则样本的联合分布函数2、统计量样本均值：,样本方差：样本标准差： ,样本阶原点距：样本阶中心距：3、三大抽样分布<1>分布卡方分布：设随机变量XB<0,1>且相互独立,则称统计量服从自由度为的分布,记为性质：设且相互独立,则<2>分布：设随机变量,且X与Y独立,则称统计量：服从自由度为的分布,记为。性质：<3>分布：设随机变量,且与独立,则称统计量服从第一自由度为m,第二自由度为n的分布,记为,性质：设,则。七、参数估计1.参数估计定义：用估计总体参数,称为的估计量,相应的为总体的估计值。2.点估计中的极大似然估计设取自的样本,设或, 求法步骤：似然函数：取对数： 或解方程：,解得：3.估计量的评价标准估计量的评价标准无偏性设为未知参数的估计量。若E<=,则称为的无偏估计量。有效性设和是未知参数的两个无偏估计量。若,则称有效。一致性设是的一串估计量,如,有则称为的一致估计量或相合估计量。正态总体中,样本均值是的无偏估计量 修正样本方差是的无偏估计量5. 区间估计 单正态总体参数的置信区间条件估计参数枢轴量枢轴量分布置信水平为的置信区间已知未知未知未知八、假设检验1.假设检验的基本概念基本思想假设检验的统计思想是小概率原理。小概率事件的概率就是显著性水平,常取=0.05,0.01或0.10。基本步骤提出原假设H0；选择检验统计量；对于查表找分位数,使,从而定出拒绝域W；由样本观测值计算统计量实测值；并作出判断：当实测值落入W时拒绝H0,否则认为接受H0。第一类错误：当H0为真时,而样本值却落入了拒绝域,应当否定H0。"弃真错误"P拒绝H0|H0为真=第二类错误：当H1为真时,而样本值却落入了接受域,应接受H0。"取伪错误"P接受H0|H1为真=2.单正态总体均值和方差的假设检验7 / 7