学案空间向量及其运算的坐标表示.docx

空间向量及其运算的坐标表示【学习目标】1 .了解空间直角坐标系理解空间向量的坐标表示。2 .掌握空间向量运算的坐标表示。3 .掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用。4 .掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题。【学习重难点】重点：理解空间向量的坐标表示及其运算。难点：运用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问题。【知识梳理】一、平面向量坐标表示及其运算已知a=(xl,%),b=(x2,y2),写出下列向量的坐标表示a÷b=(x1+x2,y+y2a-b=(x1-x2,1-y2)；2a=(lxl,yi)；ab=x1x2+yiy2ab<>x1y2-x2y1=0;a±b<>x1x2+y1y2=0设6=(X,y),则I-F=f+,2或=M+y2如果表示向量3的有向线段的起点和终点的坐标分别为区,必)、(x2,y2),那么IGl=J(内一通)2+(凶一必)2；CoSe=一XIX2+9冉(oea)由【学习过程】一、情境导学我国著名数学家吴文俊先生在数学教育现代化问题中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系，对于研究空间形式，你要真正的腾飞'，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法”吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算。二、探究新知（一）空间直角坐标系与坐标表示1 .空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底31,k,以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：X轴、y轴、Z轴，它们都叫做坐标轴。这时我们就建立了一个空间直角坐标系。Dz,。叫做原点，i,j,k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为。孙平面，SN平面，OZX平面。（1）画空间直角坐标系。物时，一般使NXoy=I35。（或45。），NyOZ=90。三个坐标平面把空间分成八个部分。（2）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向X轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向Z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。本书建立的都是右手直角坐标系。2 .点的坐标在空间直角坐标系Oqz中，i,j,k为坐标向量，对空间任意一点4,对应一个向量65,且点4的位置由向量瓦5唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x,乃z）,使5xi+yj+zk.在单位正交基底i,j,k下与向量方5对应的有序实数组（x,/z）,叫做点4在空间直角坐标系中的坐标，记作/（x,y,z）,其中X叫做点4的横坐标，y叫做点4的纵坐标，Z叫做点4的竖坐标。3 .向量的坐标在空间直角坐标系。斗中，给定向量a,作57=由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组G,乃z),使a=xi+yj+zk0有序实数组(x,yfz)叫做a在空间直角坐标系的N中的坐标，可简记作a=(x,yfz)。小试牛刀1 .若a=3i+2j-k,且i,j,k为空间的一个单位正交基底，则a的坐标为。(3,2,-1)答案：同比而的坐标恰好是终点P的碓标，这就实现了空间基底到空间坐标系的转换。思考：在空间直角坐标系中，向量前的坐标与终点P的坐标有何关系？(二)空间向量运算的坐标表示2 .空间向量的坐标运算法则设向量a=(。，a,a),b=(6,b,b),2R,那么I23123向量运算向量表示坐标表示加法a+b减法a-b数乘a数量积ab(+b,Q+b,4+b)；(a-b,a-b,a-b)；(a,)x>a)；ab+ab+abII2233112233123Il22333 .空间向量的坐标与其端点坐标的关系：设彳(X,片，NJ,B(弓，"z2),则力B=(4-XjZA'zz°即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。4 .空间向量平行与垂直条件的坐标表示若向量a=(,a,a)»b=(6,b,b),则I23123(1)当b,0时，ab=a=2bo(zR);(2) a±b<=>Q。a-b,a=h,a=h；ab=O；ah+ab+ab=0112233112233点睛：当b的坐标中t,4,4都不等于0时，a与b平行的条件还可以表示为ab=Ql_。2_。3b1b2b35 .空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示若向量a=(。，。，。)，b=(b,b,b),则123123(1)a=(2)cos<a,b>=:Ial网(3)若PI(X1，yfZi),Pi(X2,歹2,Z2),则尸I，Pz两点间的距离为|瓦玛I=2,2工2%瓦+2½÷a3b3222国+度+说；/夕/天(小1)+<y2-y)+(Z2-Z1)。小试牛刀1 .已知空间向量m=(1,-3,5),n=(-2,2,-4),则有m+n=,3m-n=(2m)(-3n)=。2 .已知空间向量a=(2,-1),b=(,8,-6),若2匕则=，若a_Lb,则=。3 .已知a=(-2,2,3),b=(32,6,0),则IaI=，a与b夹角的余弦值等于C例1在直三棱柱ABO-AIBQ中，ZAOB=,AO=4,BO=2,AA1=4,D为AIBl的中点，建立适当的空间直角坐标系，求而，豆的坐标。用坐标表示空间向量的步骤如下：跟踪训练1.如图，在长方体ABCDABCD中，E,F分别为DIC,BICl的中点，若以跖，AD,研为基底，则向量标的坐标为，向量屈的坐标为，向量遍的坐标为例2已知在空间直角坐标系中，A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5)o(1)求通+五，CB-2BA,ABAC；(2)若点M满足而?=：通+a而，求点M的坐标；24(3)若P=刀，q=CBf求(p+q)(p-q)o空间向量的坐标运算注意以下几点：(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标。(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键。22222(3)运用公式可以简化运算：(a±b)=a±2ab+b；(a+b)(a-b)=a-b跟踪训练2在MBC中，A(2,-5,3),AB=(4,1,2),BC=(3,-2,5)。(1)求顶点3,。的坐标；(2)求刀露(3)若点尸在/C上，JIQ=T同，求点P的坐标。例3已知空间三点4(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4)。设a=何，b=AC.(1)若c=3,cBC,求c；(2)若Za+b与在a-2b互相垂直，求左。向量平行与垂直问题主要题型(1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用。解题时要注意：适当引入参数(比如向量a,b平行，可设a=2b),建立关于参数的方程；最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的。跟踪训练3.已知a=(A+1,1,2),b=(6,2m-1,2)。(1)若21),分别求4与机的值；(2)若Ial=遍，且与C=(2,-2t-2)垂直，求A.例4如图，在直三棱柱/BC-ZgJ中，CA=CB=tNBc4=90。，棱44:2,M,N分别是44,Cq的中点。(1)求8",8N的长。(2)求ZkBAlN的面积。反思感悟向量夹角与模的计算方法利用坐标运算解空间向量夹角与长度的计算问题，关键是建立恰当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标，然后利用夹角与模的计算公式进行求解。跟踪训练4.在正方体相处坨*中，E,b分别为牛，吗的中点，则COSNEAF=,EF=。一题多变空间向量的平行与垂直典例在正方体48>4BGA中，点E是棱。1。的中点，点、P,。分别为线段SG,BD上的点，且3型二西，PQLAE,BD=DQf求/1的值。延伸探究1若本例中的PQL4E改为/。，后。，其他条件不变，结果如何？延伸探究2本例中若点G是4。的中点，点，在平面XQy上，且GHBD,试判断点，的位置。【达标检测】1 .如图，在长方体力BCQdlBIGol中，AB=41BC=I,44=3,已知向量a在基底四,AD,再下的坐标为（2,1,-3）。若分别以赤，DC,西的方向为X轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则a的空间直角坐标为（）A.(2,1,-3)B.(-1,2,-3)C.(1,-8,9)D.(-1,8,-9)2 .下列向量中与向量a=(0,1,0)平行的向量是()A.B=(1,0,0)B.C=(0,-1,0)C.D=(-1,-1,1)D.e=(0,0,-1)3 .已知向量a=(1,0,1),b=(2,0,-2),若(a+b)(a+b)=2,则左的值等于)3 21A.1B.-C.-D.-5554 .已知点Z（1,1,r）,B（2,/,/）,贝J4,B两点的距离的最小值为（）A.3IU10B.fD.5 .已知向量a=(2,-1,-2),b=(1,1,-4)。(1)计算2a-3b和2a-3b°(2)求<a,b>.6 .棱长为1的正方体4?CD-481Gol中，E,F,G分别是BD,的中点。(1)求证：EFLCF>(2)求EF与CG所成角的余弦值；(3)求CE的长。课堂小结课堂小结：本节课你学到了什么？参考答案：知识梳理【学习过程】小试牛刀1.(3,2,-1)答案：向量丽的坐标恰好是终点夕的坐标，这就实现了空间基底到空间坐标系的转换。小试牛刀1. (-1,-1,1)；(5,-11,19)；168解析：m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),(2m)(-3n)=(2,-6,10)-(6,-6,12)=168.22. 4；-3解析：若2回则有:=,解得2=4.若3_11),则ab=2%+8九2+6=0,解得入=-；。A8-o33. 答案：3,解析：a=Sq=J(-2)2+22+(3)2=3,a与b夹角的余弦值cos<a,b>=眨=yIallbl-6+12+0_63×369°例1思路分析先在空间几何体中找到两两垂直的三条直线建立空间直角坐标系，再根据空间向量基本定理，将前，中用基底表示，即得坐标。解：由己知力O_LO3,OOLOA,OOA-OB,从而建立以成，OB,对方向上的单位向量i,j,k为正交基底的空间直角坐标系QUz,如图，则U4i,OB=2j,E=4k,DO=-OD=-(E+而)=-¼+i(0A+OB)=-00-1OA-OF=-2i-j-4k,故前的坐标为(-2,-1,-4).AB=OB-0A=OB-(0A+AAi)=OB-OA-研=-4i+2j-4k,故项的坐标为(-4,2,-4)。即加=(-2,-1,-4),AB=(-4,2,-4)。(1,1, 1)解析：因为标=前+西+庠=T而+南+京，所以向量荏的坐标为6，1，1).因为方二荏+西+及F=荏+IAD+彳否,所以向量标的坐标为(1,1)。因为温=荏+而+而，所以向量宿的坐标为(1,1,1)。例2思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标，再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解：(1)因为A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),所以宿=(-3,5,-4),CA=(-1,0,9)。所以南+Z7=(45,5),又方=(-4,5,5),BA=(3,-5,4),所以方-2X=(-10,15,-3),又荏=(-3,5,-4),AC=(1,0,-9),所以荏尼=-3+0+36=33.(2)由(1)知，AM=-AB+-AC=-(-3,5,-4)÷-(1,0,-9)=f-,-r2424424/若设/(x,yfz),则AM=(X-1,歹+2,z-4),x-1=-：'卜=3'于是(y+2=,解得(y=故(,-y)oI13519z'4=-T,z=-tj(3)由(1)知，p=CA=(-1,0,9),q=CB=(-4,5,5)。(方法1)(p+q)(p-q)=p-q=82-66=16.(方法2)p+q=(-5,5,14),p-q=(3,-5,4),所以(p+q)(p-q)=-15-25+56=16.跟踪训练2解：(1)设8Q,y,z),C(x,y,z),所以荏二(X-2,j+5,z-3),BC=(XI-JGy-yfz-z)。x-2=4,(%=6,y+5=l,解得y=-4,所以点8的坐标为(6,-4,5)。z-3=2,(z=5,x1-6=3,Cx1=9,y1+4=-2,解得Iyl=-6,所以点C的坐标为(9,6,10)。z1-5=5,(Zl=10,(2)因为石?=(-7,1,-7),BC=(3,-2,5),所以方近=-21-2-35=-58.(3)设P(X2,yi9Z2),则AP=(X2-2,及+5,Z2-3),PC=(9-xz>-6-y2,l-z2),于是有(X2-2,玫+5,Z2-3)=|(9-X2>-6也，10-Z2),2-2=|(9-x2),卜2=葭'所以b2+5=3(-6-y2),解得卜2=告，故点尸的坐标为号，y).Q2-3=I(IO-Z2)，Q2=T,例3思路分析（1）根据C近，设c=2正，则向量C的坐标可用2表示，再利用c=3求2值;(2)把版+b与依-2b用坐标表示出来，再根据数量积为O求解。解：(1)VBC=(-2,-1,2)且C迸，'c=BC=(-2九U,2)(2R)°I222,c=J(-2)+(-)+(2)=3=3,解得l=±l.Zc=(-2,-1,2)或C=(2,1,-2)。(2)a=AB=(1,1,O),b=i4C=(-1,0,2),.*a+b=(Zr-1,k,2),Aa-2b=(/:+2,k,-4)。：'(版+b)±("a-2b),：(4a+b)(%a-2b)=0,2即(hl,k,2)(Ar+2,k,-4)=2左+hl0=0,解得2二2或仁会跟踪训练3.解：(1)由ab,得(A+1,1,2)=k(6,2w-l,2),1+1=6k,/1入=k=一,1*1=Zc(2n-l),解得5.U=-,“7=3.UI=2匕=3z22rIal=G且社c,a+。+#+)=5,化简，得2：2"3,.(+1,1,2)-(2,-2,-A)=O,12-22=O,解得；I=-L因此，a=(0,1,-2)o例4思路分析建立空间直角坐标系，写出&M,N等点的坐标，从而得前，前的坐标。然后利用模的公式求得8/,BN的长度。对于(2),可利用夹角公式求得COSNMBN,再求出SinNMBN的值，然后套用面积公式计算。解：以C为原点，以口，CB,CQ所在直线分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系(如图)。则8(0,1,O),M(1,0,1),N(0,i,1)。(1) 丁丽=(1,-1,1),BN=(0,-i,1),：|丽I=JI2+(-1)2+I2=3,FN=J2+(-)2÷I2=yo故的长为5,BV的长为苧。(2) Slbmn=-BMBNsinZMBNo：'COSNMBN=CoS<BM,F/V>=上吧=,I前IIBNl3×5：SinNMBN=JI-(W)2=*故SabmnWX3XFX=当。即的面积为当。22544跟踪训练4.答案：I当解析：以力为原点，AB,ADf分别为X轴、)轴、Z轴建立直角坐标系(图略)，设正方体棱长为L则e(o,I),f(i,0,I),ae=(q,I),荏=(,o,|),而=(,9cos< AE fjAE AF _ I _ 2AE-AF !5 522：CoSNE4/=泉EF=EF=o一题多变空间向量的平行与垂直典例解：如图所示，以点。为原点，DAtDC,西的方向分别为X轴，歹轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1,则力(1,0,0),£(0,0,B(1,1,O),Bl(1,1,1),Dx(O,0,1),由题意，可设点P的坐标为(4,ml),因为3瓦A=西所以3(-l,-l,0)=(-4,-,0),所以3«3=m解得三，所以点P的坐标为1)。444由题意可设点。的坐标为(b,b,0),因为P0_L4E,所以所荏=0,所以(E,b-1)-(-1,0,1)=0,即-(Z,2).1=0,解得6=%所以点0的坐标为(i,i,0),因为前=/1丽，所以(-1,-1,0)=(i,i,0),所以4=1,故2=4444×c,i1Tp.*/：/Jo/延伸探究1解：以点。为原点，DA,DC,西的方向分别为X轴，y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1,点Q的坐标为(c,c,0),因为ByQLEQ,所以瓦1EQ=O,所以(C-1,c-1,-1)(c,c>-)=0,即C(C-I)+c(C-I)+=0,4c2-4c+l=0,解得。=泉所以点。的坐标为C，p0),所以点0是线段8。的中点，所以而=-2而，故l=-2.延伸探究2解：以点。为原点，DA,DCf西的方向分别为X轴，y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,因为点G是AiD的中点，所以点G的坐标为(%O,p,因为点在平面XQy上，设点的坐标为(相，0),因为丽=(*BD；=(-1，-1,1),且GHBD；，所以今=；=3，解得m=1,三。所以点”的坐标为(1,p0),所以点H为线段48的中点。【达标检测】1 .答案：D解析：=2AB+AD-3AA=2DC-52-3DD7=Sj-i-9k=(-1,8,-9)。2 .答案：B解析：比较选项中各向量，观察哪个向量符合Za=(0,九0)的形式，经过观察，只有C=-A.3 .答案：D解析：由已知得a=,b=22,ab=O,所以由(Aa+b)(a+Zb)=2可得ZaF+Zlbl(2+l)ab=2,即2Z+8Z=2,解得二，。2224 .答案：C解析：因为点N(1,1,/),B(2,/,/),所以MBl=(1+/)+(2M)+22(z)=St2+2,由二次函数性质易知，当，=(时，取得最小值为一：|/8|的最小值为手，故选C.5.解:(1)2a-3b=2(2,-1,-2)-3(1,1,-4)=(4,-2,-4)-(3,3,-12)=(1,-5,8)。2a-3b=jl2÷(-5)2+82=310c(2)cos<a,b>嗡=康=今又va,b>0,故<a,b>g6.解建立如图所示的空间直角坐标系3%则O(0,0,0),a。，0，C(01'0)62fG(l，I,；)。所以EF*=(,2,C*,2,0)CG=(1,0>),CE=(0,1,证明因为MCE=器+；XO+(一扑0=0,所以E/USBPEFLCFo2，EPCG4T(2)因为ECG=Txl+Tx+(1)×=,ICGI=J/+O?+?=卓/.cos(EF,CG)(3)ICT=7o2+-12+2=o