计算方法与实习-复习.docx
计算方法复习1.相对误差限：rIx如果有正数，使IerlW£r,则£I为X的相对误差限f×10«F一×10®有效数字n->相对误差限Er吧2.两数和、差、积、商的绝对误差估计：<?Crl÷JTj)We(xl)÷e(xj)一JG)Xi)一«盯)«毛*2)*<*)+1x2O×2%Jfi3.两数和、差、积、商的相对误差估计:4y«a=一3r(>*1<,u*>Jtl巧玉巧0gOk)1,u>)Xl-XJX1-X1(j*l><r()MjrS)<r<>*<r(X1>-«r(<1>X，。xI4.计算方法课程主要研究以计算机为工具的数值分析方法并评价该算法的计算误差。4.近似值作四则运算后的绝对误差限公式为ftx-x)x,1),近似值.0341的相对误差限不大于，则它至少有三位有效数字。6.设数据Xl,x2的绝对误差限分别为0.05和0.005,那么两数的乘积xlx2的绝对误差限(x1x2)=005x2+OOOSx17.0.00234711具有5位有效数字的近似值是:(b)a.0.00235b.0.0023471c.0.0023d.0.002347118.在B=10,1=5,-L=U=5的截断机上，与数410037对应的规格化浮点数是:(a.0.41003×106b.0.41004×106C.4.10037X105d.上溢9.自然数e*=2.718281828459045，取e=2.71828,那么e的有效数字是:(ba. 5位b. 6位10.数13.013627的有四位有效数字的近似值是:(d)a.13.00b.13.02c. 13.014d. 13.013书上布置习题1.指出下列各数有几位有效数字:x=4:8675,x2=4:08675,x3=0.08675,.v4=96:4730,x5=96£105,x6=0.00096答：5;6;4;6;2;2.2.将下列各数舍入至5位有效数字：xl=3:25894,x2=3:25896,x3=4:382000,x4=0.000789247.答：3:2589;3.2590;4:3820;0:00078925.4.求下列各近似数的误差限(其中xl;x2;x3均为第1题所给出的数)：1)1+x2+x3;2)X1x2;3)x1=2.答:1).e(x十22+3)I<I×IO-4十*X10-5+£x10-5=6×IoY2) .Ie(CI12)1e(2)+X2e(x)<±1：XIO-5+±2：×IOT=2.28675×IO-4.3) .()e(x1)-三e(z2)×W4+×IOY=1.3692×Ws.练习题1 .证明方程I-H-sH=O在0,1中有且只有一个根.使用二分法求误差不大于eX10-3的根需要迭代多少次？(不必求根)答，设/(±)=I-X-sin5/(O)=1>O,/(1)=sin1<O,f,x)=-1CoeC<0,/(工)单调减，一/(工)在0,1有且仅有一根设二分上次，取Irjt=H.EyI=募(i-o)B,k>9.965,所以要二分K)次.口2 .用二分法求方程2er-sine=O在区间0,1内的根，精确到蝴有效数字.答1设工)=2e-sin,/(O)>0,/(1)=2-si111<O,ff(x)=-2e-三f-cosx<0,所以工)在0,1内有且仅有一根.设二分上次，同上题计算，需二分10次。计算机计算略，工0.921。6.求方程/一/-I=。在CQ=I5附近的根.将其改写为如下4种不同的等价形式，构造相应的迭代格式，试分析它们的收敛性。选一种收敛速度最快的迭代格式求方程的根,精确至4位有效数字。1) Z=1+4r;3)=Vx3-1；2) X=M+*4)了=/注，如果已知根的一个比较好的近似值如，即己知根工在某点Ho附近,则当|/(知)V1时迭代法局部收敛，当S'(zo)>1时不收敛.在收敛的情况F,|“(对)|越小收敛越快,分别计算,(L5),得到0.5926.0.4558,2.120,1.414,前两种迭代格式收敛，且第二种收敛最快.答：2).迭代格式£上+1=N+理,fc=0,1,2,Xo=1.5.记WH)=vl+2,则，=(1+马-孑2x,计算得QV1K(1.5)=；、I=0.4558,3(1+1.52)2所以迭代格式是局部收敛的.方程求根的步骤(两步)1)求根的隔离区间(有根区间)2)将根精确化方法一：作y=f()的草图，由f(x)与横轴(X轴)交点的大致位置来确定根的隔离区间方法二：若直接画f(x)较难，将f(x)=O在求根区间内改写成等价形式fl(x)=f2(x),则可根据函数fl(x)和f2(x)交点横坐标的大致位置来确定根的隔离区间方法三：逐步搜索法。在f(x)的连续区间a,b内，选择一系列的X值，xl,x2,x3,xk,观察f(x)在这些点处值的符号变化情况，当出现2个相邻点上的函数值异号时，则在此小区间内至少有一个是根。第1步产生的Xl,卜町第k步产生的Xk有误差尸r=>n也M对于给定的精度，可估计二分法所需的步数k：2卜：例：用二分法求方程f(x)=x3x2-2x+1=0在区间0,1内的1个实根，要求3位有效数字。1.首先判断是否在该区间有且仅有一个根；f(0)=0-0-0+1=1>0;f(l)=l-l-2+l=-l<0;f=3x2-2x-2=-2,-l<02.Ill(b-a)2k+1=(1-0)2k+11/2*10-3解得：l2k+l1/2*10-3,l2k10-3,则：k31n10ln2>9.965,所以豳要二分10次，才能满足精度要求。3.计算例I：用迭代法求方程2x4x=0的最小正根，要求精确到4位有效数字。解：1.找出方程的有根区间(1)单调区间：f,(x)=2xln2-4=0,x=ln(4ln2)ln22.5,有两个单调区间：-8,2.5(递减)和2.5,8(递增)(2)最小正根的有根区间：1 -8,2.5区间：f(0)=1>0,f(l)=2-4=-2<0,所以最小正根的有根区间为：0,12 .在有根区间上构造收敛的迭代公式(1)两种等价形式:x=2x4=l(x)；x=2x4=l(x)；x=24=l(x):1,(x)=2xln24<l(收敛)，迭代公式为4x=ln(4x)ln2=2(x)2'(x)=l(x*ln2)>l(发散)作相应的迭代计算«9*«<2$町37»*fJV111a<J0mI,QJm¼OJMttBrCJWW方程*3r2-1=0在1.4,1.6内有一根，若将方程写成如下不同的等价形式，判断是否满足迭代收敛的条件，并选择一种最好的迭代格式，以xO=L5为初值求方程的根，要求精确到5位有效数字。l)x=l+lx22) x3=l+x23) x2=l(x-l)求解方程f(x)=O,若可以表成X=(X),则用简单迭代法求根，那么要使近似根序列不，/，*一定收敛，(X)应满足：>(x)a-10OOALAl0(x)10'ColMlvIto*2f用二分法求方程在区间1,1.5内的近似根,要求精确到小数点后第2位,则至少需要二分6次;In2用迭代法求方程根的关键问题是：a.精确地选定初值b.选定一个粗糙的初值c.正确构造一个迭代公式d.编好计算程序牛顿迭代法x=x.fMf9M用迭代法、牛顿法、割线法(x=2,xl=1.9)求方程法SxJ=O在x=2附近的根解：(1)迭代法(2)牛顿法g-l)3(¾-1)I2÷13GdF笫一步;形成迭代函数o)= 23-3*2-l =1 尸(-x)*=<3(x2-1 )=6Mi*2-1! " W(Hfti=2 2*P-÷i.HK Wllixe =1.888893*(21-l)"1eX M二步;确定初位L=I 87945X3= l.«793«X4= l.793第三步：迭代计算>1=(3)割线法xo=2, ×1=1.9/4)- 23-3*2-lljc1)- 1A-3TA1=O1592./S"-Q1=1.S11 OOm3。0.159-119QM,I3O - 1.88 1 OJS9 - 1.K794.O13O-O.1S9人。）Soool第三章线性方程组的数值解法线性方程组一解法直接法在没有舍入误差的情况下，通过有限步四则运算就可求得方程组准确解的方法实际计算中舍入误差是客观存在的，只能得到近似解主要用来求解低阶稠密矩阵方程组迭代法先给一个解的初始近似值，然后按一定的法则逐步求出解的更准确的近似值的方法主要用于求解大型稀疏矩阵方程组例若列主元高斯消去方法第二步得到的系数矩阵的第三列向量为2,6,3,2,-5,5,2T,则第三步主行是：a.第2行b.第3行c第5行d.第6行5x1I7x2I9x1«IOx416xl÷Sxl÷IOxl+9x4=17xlI1Ox2IKx3Jx4-15x147x2÷6x3÷SxQ=1向星范数靠用的向量范敷: 0的纸敷, 向fit能I-猫 向的Nf* 向的h柩敷例:设x=(2,43)T,计算IIXII8、IlXIll和2。IIjfIL=maxMl=max2,4,3=41MII-rIIi=ljrd=2+4+3=9/-lf"Wa=.=22÷42÷32=295.«35V<-矩阵范数拿用的矩阵范数-fffi*<.naxlQ.maxXlIT列布政，MI-maxI回IlJmaxKp-lKj<4*1.f«»,l,=(24maxIaII1二、L(万浦=MZ)2.范数Wr*为矩阵(ATA)的最大特征值矩阵B的谱半径即MMl一昨SML max*vMM<(-9-÷2)«lfcmax -u-(k<-3*2» -s < A.=L(/二、p( /)求处WMAg各利，格JlJ抵数1Mll2i%IlZIIN=NjSlli匕4.氽XrZf(1I<>)(12<><2O1AA22*11-1121IO91I1<>-1IJIO1)1一12)gtM为A2O1dy<az-，彳)人一91=<>11A.2|Mf，zf119BtlS为>Lt9.142M.,2.9211,O.<1"_(，/)9.142M间直角坐标系R3中的任意向量X=(X1,X2,X3)T,在满足向量范数有关条件下，向量I-范数定义为:l向量 8 -范数定义为WL÷-wm<H¾M练习解线性方程组格式公式是3 2jti Jr” 313x1-5xa0的雅可比迭代-(3-x)2 cl - x<a,>-3x<1>5-用高斯一赛尔迭代法解方程细S 2jk9 - 21 I 2j 丐 2jkv - 35不 2jts 2jt. = S的迭代格式中”'5x<1l>回代得答：对增广矩阵作三角分解：56578109IO8610I917151-576/587/B101791IO8601517151-56/57/517-2/5-1/209-4/586101-3-1/57151579101579IO16/5-2/5-4/5-3-1/56/5-2/5-4/5-3-1/57/5-1/2517/2-1/27/5一1/2-5-17/2-1/21O3/5511O3/51/103/10问解三角方程组为Sa”十Zr2+Oxs+IOx4=124一言工2-=TS-OO3o：4=-5x3一171Tx4=-213wx=ToX2=-12.Xi=20.设线性方程组的系数矩阵是对称正定矩阵，则用高斯-赛德尔迭代法求解，其迭代数列一定收敛。11-3-23 1112与原方程组同解的三角方程组为03-1回代得X3=-1.15544,X2=0.549222.Hl=0.212435.13.设4=22-3计期|刖8,MHI，11川卬541答：oo=maxl+l+0,2+2÷3t5+4+l)=10,=maxl+2+5,1+2÷4.0+3+1=8,由IAE-AA=0,得A'-61A2+51OA-9=0.记/（八）=A3-61A2+5IOA-9,则/'(入)=3A2-122A+510,/'（八）=O的根为N=4.7307,A2=35.936.当入e(N,M)时，/M:否则./增.用牛顿迭代公式解方程的最大根.A3«51.0043.IMIh=51.0043=7.14173.第四章插值法当n=0时：a=y,PO(x)=aO当n=l时«3y.j.八一*FJ."一&j*-设差商表如下，那么差商f(1,3,4)是：a.4b.-5/4c.(15-0)/(4-1)=5d.(13-1)/(4-3)=12IiM>L21HHMlLI11IIiIB4I37_1415已知丁=/(X)的差商/(X-HE)=可：/(Xl,X2,X3)=-y/(x2sx3,x4)=9/(x0,x2,x3)=则差商/(x4sx2sx3)=14159118V15d'T区间a,b上的三次样条插值函数是：a.在a,b上2阶可导，节点的函数值已知，子区间上为3次多项式b.在®b上连续的函数c.在区间a,b上每点可微的函数d.在每个子区间上可微的多项式三次样条函数在各子区向上是()次多项式a.2b.3c.4d.不超过31 .利用函数V=6在4=1,X2=121处的值,计算TTK的近似值,并估计误差。答BXi=100,Xq=121,y(x)=10,(工2)=11,r,、zX-X2z.X-Xl.cx_121-X1乙1(工)=!/(xi)-+1(X2)-=l×-三FTT+11×TojXjXqTq-XlIUU-IZl121IlMJ,115-121115-1V(115)=1152(115)=IOx+IlX=10.714286.IUU-IZlIZl-IUU误差分析y3)-L2x=-x)(x-x2)=-3z2(x-100)(，-121),(100,121).£o所以，Iy(Il5)L2(115)=5-1)(115-121)&X:OOa/2x15×6=0011255.给出函数表上0124501646880试求各阶差商，并写出牛顿插值多项式.注：有牛值公式，先就要计算囹差商表，对角0上的故字枭牛抵值公式的系数解，牛蟆插值多项式为M（三）=0+16(H-0)+7(x-O)(H-1)+(-)(x-O)(H-I)(H-2)+(J)Cr-0)(x-l)(x-2)(，-4)=16r+7x(x-1)-x(x-l)(x-2)-x(x-I)Cr-2)(H-4).第五章曲线拟合例:设某一实验中得2个变量x,y的一组数据:i=O2345678910234xi=134567yi=1054211拟合一个二次多项式解：n=9,m=2,2*m=4EwF(tA2三)I1)计算方程组系数一Sk(k=0.-4)s).>>a。-a-<<ce>、外)22科N*/53与档m><n.科)y381yOI Vj>一<一0>X-<*/a><*>X2V1一Tz)-ET4*J)E耳25317，=Cf."o)=Zh/("j)=ZX=32-4>Jq/1=3s)=ZHdUQ=XAf=147y>J-O/3=3«2=>1，W=1025y-o3)整理方程组系数一一cij:cij=Si+j(ij=O,l,.m)cim+l=Ti(i=0,l,.m)So=9,$=53,JTa=38If=3OI7,s.=25317o=3N,1-147.95338X4)解方程组53 SSl 301795338153 381 30174=134597O1=-3.6053 0l =02676例：用最小二乘法求下列超定方程组的近似解! Q Nl 其t一p(x)=13.4597-3.6053x+0.2676x137 2SA 0 79272.% I 4641练习插值法与最小二乘法都是构造逼近函数求函数的近似值。但二者是有区别的。插值法要求插值函数与已知函数在节点处重合(相交)(值相同)：而最小二乘法要求逼近函数与已知函数在节点处值的偏差最小。用最小二乘法求数据("/人口F)的拟合曲线i+bhu,通为待定系数,需将上述数据变换成(In(Xk),yk)。求定积分1>A的近似值的梯形求积公式是“叫:血叫(jMr*A(jf)求积公式，具有2n+l次代数精度，称为高斯求积公式。求积J股W训度是"d. 4的代数精度是几次的。d. 4a.1b.2c.3f(x)-(-)÷(l)求积公式八、3、3a.Ib.2c.3*-Cyt-y)已知点(xk,yk)(k=0,1,2,n),插值型两点求导公式是：.
