第五章统计与概率（知识梳理热考题型）（解析版）.docx

第五章统计与概率单元复习【知识梳理】一、普查与抽样调查普查定义：一般地，对总体中每个个体都进行考察的方法称为普查(也称为全面调查).优点：普查能够了解总体中每个个体的情况，从而能准确地掌握总体的特征.适用条件：在总体包含的个体总数不大，或有特殊需要的情况下，可以采用普查的方法.(2)抽样调查定义：只抽取挂本进行考察的方法称为抽样调查.适用条件：普查的方法有时会因为各种原因而无法实施，例如成本太高、时间上不容许、考察方法具有破坏性等，此时就采用抽样调查.二、简单随机抽样定义：一般地，简单随机抽样就是从总体中不加任何分组、划类、排队等完全随机地抽取个体.(2)特点：总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到.适用范围：当总体中的个体之间差异程度较小和总体中个体数目较少时，通常采用这种方法.(4)常见的简单随机抽样方法有抽签法、随机数表法.抽签法的优缺点抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量韭蜜大时，操作起来就比较麻烦，而且如果抽取之前搅拌不均匀，可能导致抽取的样本不具有代表性.随机数表法用随机数表进行简单随机抽样的一般步骤为：(i)对总体进行编号.(ii)在随机数表中任意指定一个开始选取的位置.位置的确定可以随机确定，也可用其他方式随机确定.(迨)按照一定规则选取编号.例如，若编号是两位，规则可以是每次从左往右选取两个数字，也可以是每次只选取每一组的前两个数字，还可以是每次只选取下面一行同一位置对应的两个数字，等等.规则一经确定，就不能更改.在选取过程中，遇到超过编号范围或已经选取了的数字,应该舍弃.(iv)按照得到的编号找出对应的个体.三、分层抽样定义：一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样).(2)作用：通过分层抽样所得到的样本，一般更具有代表性，可以更准确地反映总体的特征.四、最值、平均数、中位数、百分位数、众数最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况.平均数定义：如果给定的一组数是XI，X2,，则这组数的平均数为X=%i+jq+G这一n公式在数学中常简记为X=；£刈性质：一般地，如果Xi,X2,，%的平均数为X,且,b为常数，则x+6,ax+bt,ax,b的平均数为ax±b.(3)中位数、百分位数中位数：一般地，如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为修，X2,，x2w+,则称迎L为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为为，X2,，X2z,则称±黜为这组数的中位数.2百分位数：设一组数按照从小到大排列后为汨，X2,，计算i=叩的值，如果】不是整数，设io为大于i的最小整数，取血为p%分位数；如果，是整数，取句聚为P%分位数.特别地，规定：O分位数是曲(即最小值)，100%分位数是当(即最大值).(4)众数：一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数.五、极差、方差与标准差(1)极差：一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差.极差反映了一组数的变化范围.（2）方差定义：如果修，X2,，刈的平均数为；，则方差可用求和符号表示为性质：如果，b为常数，则QXI+b,OX2+6,，ax”+另的方差为次。（3）标准差S=/七（/一亍）2定义：方差的算术平方根S表示,即样本数据XrX2,，X”的标准差为NL-性质：如果a,6为常数，则Orl+b,ax+bt,ax+6的标准差为同s.作用：如果一组数中，各数据值都相等，则标准差为0,表明数据没有波动，数据没有离散性；若各数的值与平均数的差的绝对值较大，则标准差也较大，表明数据的波动幅度也较大，数据的离散程度较高，因此标准差（或方差）描述了数据相对于平均数的离散程度.六、柱形图、折线图、扇形图和茎叶图柱形图柱形图（也称为条形图）可以形象地比较各种数据之间的数量关系.特点：柱形图（也称为条形图）中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，柱形图中每一矩形都是笠宽的.折线图一般地，如果数据是随时间变化的，想了解数据的变化情况,可将数据用折线图来表示.扇形图扇形图可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况.扇形图中，每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比.（4）茎叶图一般来说，茎叶图中，所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列.茎叶图也可以只表示一组数.“叶”是从“茎”的旁边生长出来的数.茎叶图通常用来记录两位数的数据，把两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上往下排列.将一组数整理成茎叶图后，如果每一行的数都是按从大到小（或从小到大）顺序排列，则从中可以方便地看出这组数的最值、中位数等数字特征.七、频数分布直方图与频率分布直方图频数与频率频数：在一组数据中，数据出现的次数称为频数,某个区间内的数据的个数称为区间对应的频数.频率：在一组数据中，数据的频数与这组数据总个数的比称为频率,区间对应的频数与这组数据总个数的比称为区间对应的频率.（2）频数、频率分布直方图及其折线图频率分布直方图制作的方法步骤找出最值,计算极差频数分布直方图与频率分布直方图的区别频数分布直方图的纵坐标是频数,每一组数对应的矩形高度与频数成正比；频率分布直方图的纵坐标是普善，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于这一组数对组距应的频率.频数分布折线图和频率分布折线图的制作方法把每个矩形上面一边的中点用线段连接起来.为了方便看图，折线图都画成与横轴相交，所以折线图与横轴的左右两个交点是没有实际意义的.八、用样本估计总体用样本的分布估计总体的分布（1）一般情况下，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的特征能够反映总体的特征.特别地，样本平均数（也称为样本均值）、方差（也称为样本方差）与总体对应的值相差不会太大.（2）在容许一定误差存在的前提下，可以用挂本的数字特征去估计总体的数字特征.（3）分层抽样的平均数、方差假设第一层有2个数，分别为，X2,，Xm,平均数为X,方差为$2;第二层有个数，分别为"，刈，平均数为八方差为四如果记样本均值为m样本方差为ZAm+n一t)11/=加卜2+(X4)2+俨+(y4)2=1Cms2+nt2)+Cxy)2m+nm+n九、概率(1)必然现象与随机现象一定条件下，发生的结果事先不能确定的现象就是随机现象.发生的结果事先能够确定的现象就是必然现象.(2)样本点和样本空间随机试验把在相同条件下，对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验W.样本点和样本空间把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点,把由所有样本点组成的集合称为样本空间.(3)随机事件、必然事件、不可能事件随机事件：如果随机试验的样本空间为。，则随机事件4是。的一个非空真子集.而且，若试验的结果是力中的元素，则称4发生；否则，称才不发生.必然事件：任何一次随机试验的结果，一定是样本空间。中的元素，因此可以认为每次试验中。一定发生，从而称0为必然事件;不可能事件：因为空集。不包含任何样本点，因此可以认为每次试验中。一定不发生，从而称。为不可能事件W.事件的表示与基本事件(i)不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件，通常用大写英文字母48,C,来表示.(ii)基本事件：只含有一个样本点的事件称为基本事件W.(4)随机事件发生的概率事件/发生的概率通常用P(力)表示.我们将不可能事件。发生的概率规定为0,将必然事件。发生的概率规定为L即尸(0)=。，P(Q)=IW.对于任意事件/来说，显然应该有尸(。)SP(N)SP(Q),即。W尸(N)WL十、事件之间的包含、相等、和与积(1)事件的包含与相等定义表示法图示包含关系一般地，如果事件/发生时，事件8一定发生,则称4包含于3(或5包含4)AQB（或B=A）相等关系力且BQAA=B(2)事件的和与积定义表示法图示和由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为“与B的和(或并)力+8（或4UB）积由事件4B中的公共样本点组成的事件称为4与B的积(或交)丝（或48）3）十一、事件的互斥与对立及概率加法公式(1)事件的互斥与对立定义表示法图示互斥若事件力与3不能同时发生，则称4与8互斥力8=0（或4Pl8=0）nQo对立由样本空间。中所有不属壬事件X的样本点组成的事件称为A的对立事件事件4的对立事件记为4三如果3=4则称力与5相互对立.(2)互斥事件的概率加法公式互斥事件的概率加法公式：当N与5互斥(即N3=。)时，有R4+阴=PQ)+P/一般地，如果小，Ai,4是两两互斥的事件，则PC+>+4)=PQI)+尸(42)+尸(4).尸+尸=1.十二、古典概型(1)古典概型一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是五限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相笠(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型.(2)古典概型概率公式古典概型中，假设样本空间含有个样本点，如果事件C包含有m个样本点，则P(C)=NH十三、频率与概率用频率估计概率(1)在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率,而且试验的次数越多，频率与概率之间的差距很小的可能性越大.(2)一般地，如果在次重复进行的试验中，事件/发生的频率为典，则当很大时，可以认为n事件A发生的概率P()的估计值为久.此时也有OWPa)WLn十四、相互独立事件的定义和性质(1)定义：一般地，当尸28)=PQ)P(B)时,就称事件4与8相互独立(简称独立).(2)性质：如果事件/与8相互独立，则/与8,A与B,4与5也相互独立.(3个事件相互独立“4,Ai94相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”.十五、独立事件的概率公式(1)若事件4B相互独立，则a4B)=PQ)XP(阴;(2)若事件4,42,，4相互独立，则尸(Zd十4,)=尸(NI)X尸(42)XX/(4).事件6的各种情形概率公式4,B同时发生P(AB)=P（八）P(B)A,8都不发生P(AB)=P（八）P(B)=-P（八）-P(B)=1-P（八）-P(B)+P（八）P(B)A,B至少有一个不发生1-P(AB)=1-P（八）P(B)A9B至少有一个发生1-P(AB)=1P（八）P(B)=P（八）+P(B)P（八）P(B)48恰好有一个发生P(AB+AB)=P（八）P(B)+P（八）P(B)=P（八）+P(B)2P（八）P(B)十六、统计与概率的应用概率是描述随机事件发生可能性大小的度量,它已经渗透到人们的口常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是01（包含0,1）之间的一个数，它度量该事件发生的可能性.小概率事件（概率接近0）很少发生，而大概率事件（概率接近1）则经常发生.【热考题型】【考点1】统计一、单选题1. （2023上贵州六盘水高二统考期中）某校有教师360人，其中高级及以上职称教师240人，一级职称教师80人，其他职称教师40人，现采用分层抽样从中抽取18人参加某项调研活动，则高级及以上职称教师应抽取的人数是（）A.2B.4C.9D.12【答案】D【分析】根据分层抽样的定义求解即可.【详解】由题意知，高级及以上职称教师应抽取的人数为生xl8=12人.360故高级及以上职称教师应抽取的人数为12人.故选：D.2. （2023上湖南邵阳高三校考阶段练习）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示.横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使【可报最多，下列说法错误的是（）A.投资3天以内（含3天），采用方案一B.投资4天，不采用方案三C.投资6天，采用方案一D,投资9天，采用方案三【答案】D【分析】由统计图形，判断投资期限内每天回报累积最大的方案.【详解】由图可以看出，从每天回报看，投资3天以内（含3天），方案一每天的回报都最多，所以三天回报累积也最多，故A正确；投资4天，方案三每天的回报都最少，所以三天回报累积也最少，故B正确；投资6天，方案每天回报累积约为40x6=240元，方案二每天回报累积约为10+21+30+40+50+61=212元，每大回报均少于40元，故每天回报累积小于6x40=240元，所以方案一每天回报累积最多，故C正确；投资9天，方案三前6天均小于20,第7天小于40,第8天小于60,笫9天大约100,故每天回报累积小于6x20+40+60+100=320,方案一每天I可报累积约为40x9=360元，所以方案三9天累积|口1报不是最多，故D不正确.故选：D3. （2023上全国高三专题练习）工业生产者出厂价格指数（PPI）是反映工业企业产品第一次出售时的出厂价格的变化趋势和变动幅度.根据下面提供的我国2020年1月2021年12月的工业生产者出厂价格指数的月度同比（将上一年同月作为基期进行对比的价格指数）和月度环比（将上月作为基期进行对比的价格指数）涨跌情况的折线图判断，以下结论中正确的是（）A. 2020年各月的PPl在逐月增大B. 2020年各月的PPl均高于2019年同期水平C. 2021年1月12月各月的PPl在逐月减小D. 2021年1月12月各月的PPI均高于2020年同期水平【答案】D【分析】根据图像可判断AC,根据同比增长线与0.0%线的比较可判断BD.【详解】由图可看出，选项A,C指的是“环比”，2020年各月不是逐月增大，2021年也不是逐月减小，故A,C错误；选项B,D是指“同比”，由于2021年112月同比增长线均在0.0%的上方，所以2021年112月各月的PPI均高于2020年同期水平，故D正确；而2020年112月同比增长线不均在0.0%的上方，故B错误.故选：D4. （2023上全国高三专题练习）某校高一年级100o名学生的血型情况如图所示.某课外兴趣小组为了研究血型与饮食之间的关系，决定采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本，则从高一年级N型血的学生中应抽取的人数是（）A.11B.22C.110D.220【答案】A【分析】根据扇形图中/型血的学生占比进行求解即可.【详解】由图中数据可知高一年级4型血的学生占高一年级学生总体的22%,所以抽取一个容量为50的样本，从力型血的学生中应抽取的人数是50x22%=lL故选：A5. （2023上天津河北高三统考期中）某班的全体学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为20,40）,40,60）,60,80）,80,100.若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是（）A.40B.45C.50D.60【答案】C【分析】由频率分布直方图可得低于60分的人的频率，结合低于60分的人数即可求得答案.【详解】由频率分布直方图可得低于60分的人的频率为20（0.005+0.010）=0.300,由于低于60分的人数是15,则该班的学生人数是=50,故选：C6. （2023上全国高三专题练习）甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表：班级参加人数中位数方差平均数甲55149191135乙55151IlO135下列结论中，不正确的是（）A.甲、乙两班学生成绩的平均水平相同B.乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数150个为优秀）C.甲班的成绩比乙班的成绩波动大D.甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数【答案】D【分析】根据平均数大小判断选项A：根据中位数大小判断选项B；根据方差大小判断选项C；根据众数定义，题中数据无法得出众数，故选项D无法判断.【详解】甲、乙两班成绩的平均数都是135,故两班成绩的平均水平相同，故A正确；甲、乙两班人数相同，但甲班成绩的中位数为149,乙班成绩的中位数为151,则甲班每分钟输入汉字数150个的人数至多为27人,乙班每分钟输入汉字数150个的人数28人，则乙班每分钟输入汉字数150个的人数要多于甲班，故B正确；¾=191>110=,则甲班成绩不如乙班稳定，即甲班成绩波动较大，故C正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，故D不正确.故选：D.二、多选题7. （2023上高一课时练习）下面的抽样方法不是分层随机抽样的是（）A.在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D.用抽签法从10件产品中抽取3件进行质量检验【答案】ABD【分析】根据分层抽样的定义逐个分析判断【详解】对AB,不是分层随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；对于C,是分层随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；对于D,是简单随机抽样.故选：ABD8. （2023上全国高三专题练习）习近平总书记强调，要坚持健康第一的教育理念，加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展.某学校对高一年级学生每周在校体育锻炼时长（单位：小时）进行了统计，得到如下频率分布表：分组2,3)3,4)4,5)5,6频率则下列关于高一年级学生每周体育锻炼时长的说法中正确的是（）【答案】BCD【分析】根据众数的定义，中位数的定义，平均数的定义，百分位数的定义即可求解.【详解】对A,因为最大频率的组的中点值为3.5,则众数大约为3.5,故A错误；对B,由表可知，中位数在第二组中，设其为X,则（x-3）x03=0.25,解得Xa3.83,故B正确:对C因为平均数为2.5X0.25+3.5*0.3+4.5X0.2+5.5X0.25=3.95,故C正确；对D,因为前三组的频率和为0.75,则第80百分位数位于第4组，设其为明可得（-5）X0.25=0.05,解得=5.2,故D正确.故选：BCD.三、填空题9. （2023上上海杨浦高三复旦附中校考期中）己知某班全体学生在某次数学考试中的成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则图中。所代表的数值是.【分析】根据频率分布宜方图结合频率和为1运算求解.【详解】由频率分布直方图可知每组频率依次为：0.1,10a,035,0.3.0.1,则0.1+10+0.35+03+0.1=1,解得=0.015.故答案为：0.015.10. （2023下上海高二专题练习）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中M的比值n【答案】IO【分析】先分别计算甲组和乙组数据的中位数和平均数，再根据它们的中位数相同，平均数也相同，求出m,，从而得解.【详解】由茎叶图得到甲组数据的中位数为30+m,乙组的中位数为必科=33,所以30+m=33,解得2w=3；甲组的平均数=乙组的平均数，所以27+?+39=2（）+"+3：+34+38,解得=&；34所以%=4；n8故答案为：OU.(2023上上海黄浦高三统考期中)某校共有400名学生参加了趣味知识竞赛(满分：150分)，且每位学生的竞赛成绩均不低于90分.将这400名学生的竞赛成绩分组如下：90J00),100,110),110,120),120,130),130,140),140,150,得到的频率分布直方图如图所示,则这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为.【答案】220【分析】由频率分布直方图的面积和为1求出明再计算出结果即可.【详解】由频率分布直方图可知(0.010+0010+0025+a+0.015+0.005)l0=l,解得=0.035,这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为400'(0.035+0.015+0.005)'10=220,故答案为：220四、解答题12. (2023上浙江杭州窗二校联考期中)某市政府为了倡议市民节约用电，计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度，即确定一户居民月均用电量标准”，用电量不超过。的部分按照平价收费，超出部分按议价收费.为了确定一个合理的标准，从某小区抽取了100户居民进行用电量调查(单位kwh),并绘制了如图所示的频率分布直方图：求X的值：求被调查用户的月用电量平均值：(同一组数据用该区间的中点值作代表)若使85%居民用户的水费支出不受影响，应确定。值为多少？【答案】0.0044186(3)262.5【分析】(1)直接根据概率和为1计算得到答案.(2)直接根据平均值公式计算得到答案.(3)确定85%分位数在250300之间,计算得到答案.【详解】(1)(0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)×50=1,解得x=0.0044:(2) X=75×0.0024×50+125×0.0036×50+175×0.0060×50+225×0.004&50+275×0.0024×50+325×0.0012x50=186；(3)(0.0024+0.0036+0,0060+0.0044)×50=0.82<0.85；(0.0024+0.0036+0.0060+0.0044+0.0024)×50=0,94>0.85；故85%分位数在250300之间，设为明0.0024×50+0.0036×50+0.0060×50÷0.0044×50+0.0024×50×50=0.85,50解得Q=262.5.13. (2023上重庆北陪高二西南大学附中校考期中)某研究小组发现某药物X对神经冲动的产生有明显的抑制作用，称为"麻醉".该研究小组进行大量实验，刺激突触前神经元时，记录未加药物X和加药物X后突触前神经元的动作电位(单位：mV),在大量实验后，得到如下频率分布直方图.利用动作电位的指标定一个判断标准，需要确定一个临界值。.当动作电位小于C时判定为“麻醉”，大于或等于C时判定为“未麻醉”.该检测漏判率是将添加药物X的被判定为"未麻醉"的概率，记为P(c);误判率是将未添加药物X的被判定为“麻醉的概率，记为夕(c)当漏判率为P(C)=4%时，求临界值c；令函数/(C)=P(C)+g(c),当c60,65时，求/©的最小值.【答案】c=59(2)0.075【分析】(1)根据题意由第二个频率分布直方图的频率可求出J(2)根据题意得出/(C)的解析式，再根据一次函数的单调性即可求解.【详解】(1)依题可知，漏判率为P(C)=4%,右边第二个频率分布自方图图形中后两个小矩形的面积分别为5x0.005=0.025,5x0.015=0.075,因为0.025<4%,所以55<c<60,所以(60-C)XO.015=0.040.025=0.015,解得c=59；(2)当c60,65时，/(c)=p(c)+q(c)=(65-C)X0.005+0.05+(C-60)X0.02=0.015c-0.825,因为函数/(C)在60,65上单调递增,所以f(c)0.015×60-0.825=0.075,所以/(c)在区间60,65的最小值为0.075.14. (2023上上海杨浦高三复旦附中校考阶段练习)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为,z(z=l,2,-,10),记Zj=Xj-%(i=l,2,10).试验结果如下：试验序号i12345678910伸缩率Xj545533551522575544541568596548伸缩率乃536527543530560533522550576536求甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率的中位数和极差；设Z/2,ZK）的样本平均数为Z,样本方差为Sz.判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果ZN2,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.【答案】（1）中位数：546.5；极差：74有显著提高【分析】（1）根据中位数和极差的定义计算即可：（2）根据平均数与方差公式计算Z与S?,计算比较大小即可.【详解】（1）根据表格将这十次试验中甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率按大小顺序排列，可得中位数为548+545=546.5,极差位596522=74；2（2）由表格可知序号i12345678910Zi=Xj-H96881511191820121010故=Z（七一乂）=IOz=9÷6÷8+（8）+15+11+19+18+20+12=110nz=11,i=lZ=I（H-ll）2+（l9-ll）2+（18-llf+00-11（2-11j_10所以2JJ=T<6<z>VlO显然有显著提高.【考点2】概率一、单选题1.（2023下北京通州高一统考期中）抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，该试验的样本空间中样本点的个数为（）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【分析】利用基本事件的定义，列举即可.【详解】先后抛掷两枚质地均匀的硬币，有先后顺序，则此试验的样本空间为（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）.故选：C.2. （2023广东高三学业考试）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与都是红球C.恰有一个黑球与恰有两个黑球D.至少有一个黑球与至少有一个红球【答案】C【分析】先写出从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球所包含的基本事件，再根据选项写出各事件的基本事件，利用互斥事件与对立事件的定义判断即可.【详解】根据题意，记2个红球分别为B,2个黑球分别为a,b,则从这4个球中任取2个球的总基本事件为48,Aa,Ba,Ab,Bb,ah：A、都是黑球的基本事件为"，至少有一个黑球的基本事件为Ba,Ab,Bb,ab,两个事件有交事件"，所以不为互斥事件，故A错误；B、至少有个黑球的基本事件为40,Ba,Ab,Bb,ab,都是红球的基本界件为力氏两个多件不仅是互斥事件，也是对立事件，故B错误；C、恰有两个黑球的基本事件为"，恰有一个黑球的基本事件为4,Ba,Ab,Bbt两个事件是互斥事件，但不是对立事件，故C正确；D、至少有个黑球的基本事件为l,Ba,Ab,Bb,ab,至少有一个红球的基本事件为彳8,Aa,Ba,Ab,Bb,两个事件不是互斥事件，故D错误.故选：C.3. （2023上四川高三统考学业考试）某同学计划在四大名著三国演义水浒传西游记红楼梦中随机选一本作为课外读本，则红楼梦恰好被选中的概率为（）A.-B.!C.-D.4234【答案】D【分析】宜接计算概率即可.【详解】红楼梦恰好被选中的概率为P=1.4故选：D.4. (2023上北京高二北京五十五中校考期中)支付已经成为人们几乎最常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了IOo名顾客进行调查，记录结果整理如下表.从这100名顾客中随机抽取1人，则该顾客年龄在40,60)内且未使用支付的概率为().顾客年龄(岁)20岁以下20,30)30,40)40,50)50,60)60,70)70岁及以上支付人数31214132790其他支付方式人数0029551212237A.B.-C.D.5055050【答案】D【分析】由题意，算出100名顾客中，顾客年龄在40,60)且未使用支付的的人数，结合古典概型的概率公式，进而可以得到未使用支付的概率.【详解】在随机抽取的100名顾客中，顾客年龄在40,60)内且未使用支付的共有9+5=14(人)，147所以从该超市随机抽取1名帔客，估计该顾客年龄在内且未使用支付的概率为p=A故选：D.5. (2023上浙江高二萧山二中校联考期中)将枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，设事件X="第一次点数为偶数"，事件5="第二次点数为3的倍数”，则()A.A与8是互斥事件B.A与8是互为对立事件C.P(AnB)=P（八）P(B)D.P(AJB)=P（八）+P(B)【答案】C【分析】利用古典概型的概率公式，结合互斥亦件与对立事件的定义即可得解.【详解】依题意，一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次的基本事件有6x6=36件，事件A的基本事件有3X6=18件，事件8的基本事件有62=12件，事件XcB的基本事件有3x2=6件，事件4u8的基本事件有3x6+3x2=24件，所以PQ)=普=P(B)=pP(J)=黑±P(4)=WJoZJo3IoOJo3故P(XcB)=P(N)P(B),P(4U8)P(4)+1(8),所以A与6不是互斥事件，更不是对立事件，故ABD错误，C正确.故选：C.6. (2023上广东佛山高二华南师大附中南海实验高中校考期中)下列命题中正确的是()A.有一批产品的次品率为005,则从中任意取出200件产品中必有10件是次品C.随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率【答案】D【分析】根据频率与概率的区别，概率的定义和性质进行判断.【详解】对于A,实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，并不是个确定的值，批产品次品率为0.05,则从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一定是10件，A错误；对于B,100次并不是无穷多次，只能说明这100次试验出现正面朝上的频率为葛，故B错误；对于C,根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，C错误；对于D,频率估计概率，频率为出现的次数与重复试验的次数的比值，20抛掷骰子100次，得点数是6的结果有20次，则出现1点的频率是近=0.2,D正确.故选：D.二、多选题7. (2023全国模拟预测)下列说法中正确的是()A.用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体机8. 已知一组数据1,2,?，6,7的平均数为4,则这组数据的方差是暂C.数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D.若样本数据再,通，石。的标准差为8,则数据2苍-1,2七-1,2/-1的标准差为32【答案】AB【分析】A选项，根据分层抽样的定义和概率性质得到答案；B选项，根据平均数公式得到方程，求出加=4,再利用方差公式计算出结果；C选项，先对数据从小到大排序，再根据百分位数定义计算即可；D选项，先得到，须。的方差，根据方差性质得到2x-l,2x2-L,2xH)-I的方差，进而得到其标厂【详解】A选项，个体也被抽到的概率为白=0l,A正确;B选项，已知一组数据1,2,m,6,7的平均数为4,则匕上手丝=4,解得旭二4,(1-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(6-4)2+(7-4)2265二M，则这组数据的方差是g，B正确；C选项，数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23共10个数，从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30,由于IOx0.7=7,故选择笫7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即笥”=23.5,所以第70百分位数是23.5,C错误；D选项，若样本数据x,/,，%的标准差为8,则演,马，的方差为64,设芭,)的平均数为7，则M+%+1=iqF,2K-4+(/-刁+H)T2=64,2x1-l+2x,-l+2x10-l_2(a1+x2+x10)-10_-乂-=ZX-1，IOIO故(2xL>2,+y+(2/->2f+j4(x,-x)2+(x10-xy,ioio-256则2玉-1,2吃-1,2苍0-1的标准差为腐=16,D错误.故选：AB8. (2023上,四川遂宁高二四川省蓬溪中学校校考期中)将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件4=”记下的点数为3”,事件B="记下的点数为偶数，事件C="记下的点数小于3”,事件D="记下的点数大于2，则()A.事件A与8互斥B.事件A与C互斥C.事件8与。对立D.事件C与。对立【答案】ABD【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断即可.【详解】依:山朝,上的点数可能为1、2、3、4、5、6共6个基本事件,则事件5="记下的点数为偶数"包含2、4、6共3个基本巾件，事件C="记下的点数小于3包含1、2共2