第5讲零点存在的判定与证明.docx

第5讲零点存在的判定与证明零点问题是导函数的一个重要研究方向，也是一个重点和难点,属于一元等式问题，其求解需要综合前面的极值、单调性和最值来考虑.而极值点本身又是导函数的零点,所以这里会层层环绕,分析起来比较麻烦,这是零点问题的一个难点.第二个难点是结合函数单调性和零点存在定理来赋值找零点,这里会涉及不等式放缩法,如果不太理解赋值问题，等学习了不等式放缩法后，专门讲解赋值问题,那时再回过头来理解.下面我们先来学习与零点相关的定义和定理.1.函数的零点：一般的,对于函数y=(x),我们把方程X)=O的实数根瓦叫作函数y=/(冗)的零点.2 .零点存在性定理：如果函数y=(x)在区间,目上的图像是连续不断的一条曲线，并有/(tz)()<0,那么函数y=f(x)在区间(,b)内必有零点，即三(4,b),使得/(aJ=0注意:零点存在性定理使用的前提是f(x)在区间。,目连续,如果/(力是分段的,那么零点不一定存在.3 .零点存在定理的推论:若f(x)在上句上是严格单调函数且连续，则/(0)(6)vn/(x)在(,力)的零点唯一.4 .函数的零点,方程的根,两图像交点之间的联系.设函数为y=f(x),则f(x)的零点即为满足方程/(x)=0的根，若/(x)=g(x)-MX),则方程可转变为g(x)=/?(力，即方程的根在坐标系中为g(x),/Z(X)交点的横坐标,其范围和个数可从图像中得到.由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化：函数/(x)的零点Q方程/(x)=0的根方程变形方程g(x)=A(x)的根o函数g(x)与MX)的交点.在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化.【例】对于方程hu+x=O,无法直接求出根，可以拆分构造函数InX=-尢图像的交点,画出图像可判定其零点必在,1中.求无参函数零点求解无参函数零点的一般解题步骤：第一步:利用导函数求出原函数的单调性和极值点，画出函数大概的趋势图(能够描述函数性质的图像).第二步:在严格的单调区间。,以上找点,使得“)(b)<O=(x)在(。上存在唯一零点.注意:若在区间。,目，存在唯一极大值,且极大值小于零或者存在唯一极小值，且极小值大于零,则这个区间可上不存在零点.例1已知函数/(x)=x-41nx.X求/(x)的单调区间.判断了(x)的零点的个数,并说明理由.【解析】(1)由题意知，/(x)的定义域为(0,+8),x2-4x+3_(X-I)(X-3)令,(x)=0,得尤=1或x=3,.当r(x)>O,即OVX<1或x>3时，力单调递增.当(x)O,即1无3时，(力单调递减.(x)的单调递增区间是(0,1)和(3,+8),单调递减区间是(1,3).(2)由(1)题可知，当0兀,3时，/(x),/(l)=-2,.J(x)在(0,3上无零点.当元3时,/(e3)=e3-120,又力在(3,+上单调递增，(x)在(3,+8)上仅有一个零点.综上可知，函数/(力在(0,+8)上仅有一个零点.【例2】已知函数f(x)=g3-2-3-2GeR).求函数”力的单调区间.判断函数/(x)零点的个数,并说明理由.【解析】由题意得r(x)=d-21一3,令r(x)=0Wx1=-l,x2=3./(x)与()在区间(-8,+8)上的情况如下表所示:X(8,-1)-1(T3)3(3,+/)小)+00十/(x)单调递增3单调递减-11单调递增函数/()在区间(-8,-1),(3,+力)上单调递增.函数“X)在区间(-1,3)上单调递减.(2)根据(1)题，由函数单调性可知：当冗=T时，力有极大值/(T)=一：.当x=3时，/(x)有极小值3)=-11.在区间-1)单调递增,在区间(-1,3)上单调递减,可知在(-8,3)上,恒有/(x)v,无零点.当工=9时，/(9)>0.(举【例】不唯一)函数在(3,+8)上单调递增，由零点存在定理可知，有且只有一个实数z(3,+8),使得/(r)=0.二.函数/(x)有且只有一个零点.讨论含参函数零点个数一一分类讨论讨论含参函数y=2在区间aib上零点个数的一般解题步骤：第一步：利用导函数求出原函数的单调性和极值点，通常极值点与用参数表示：M=g(%)第二步:讨论出函数在区间目上的单调性,通常分为极值点Ai)=g(Z)在区间。,司的左、中、右三种情况讨论.第三步:结合函数单调性和极值/(0)和零点存在定理的推论来确定零点个数,我们通常分为情况讨论：(1)函数在区间,可上严格单调,若满足")（八）vO=(x)在()上存在唯一零点.若不满足(力)<0=/(X)在SM上不存在零点.(2)若在区间。,可上,存在唯一极大值/(0),则分为下面三种情况：极大值f()<OnG)在(上不存在零点.极大值为)=0=/(%)在(4上存在唯一零点.极大值/5)>0=若"")<0,与<0,则在(。上存在两个零点.若/(0,助0,则“力在(a上存在一个零点.若/()>OJ(b)>O,则/(力在(4,Z?)上无零点.【例1】已知函数/(x)=ev-侬一l(R,e=2.71828是自然对数的底数)，讨论y=F(X)在区间0,1上零点的个数.【解析】.(尤)=e'-r-l,.f,(x)=ex-a当&1时，/(x)在(0,+8)上单调递增且/(0)=0,/(%)在0,1上有一个零点.当a.e时,/(x)在(一a?)上单调递减，./(%)在0,1上有一个零点当1<<e时，f(x)在(0,Ina)上单调递减,在(Ina,1)上单调递增.而/=e-7,当e-L.0,即lv6e-l时,/(x)在0上有两个零点.当e-l<0,即e-l<ve时,/(%)在0,1上有一个零点.综上所述,当4,1或a>e-l时，/(切在0上有一个零点.当1<4,e-1时，/(力在0,1上有2个零点.【例2】已知函数g(x)=er-P其中e是自然对数的底数，R,讨论函数g(x)零点的个数,并说明理由.【解析】.g(x)=xe-a-x2=x(ex-a-x).由g(x)=0,得X=O或ci-x=0.设(x)=e一x,又力(O)=e“O,即X=O不是MX)的零点.只需再讨论函数MX)零点的个数.v,(x)=e-l,/.当x(-,)时，JV)V0,(x)单调递减.当x(4,+e)时，(戈)>0,(戈)单调递增.当X=Q时，取得最小值(Q)=I-.当()>0,即vl时,无零点.当Ma)=O,即=l时，A(x)>0,MX)有唯一零点.当Ma)<0,即>l时，MO)=efO,二.力(力在(-8,4)上有且只有一个零点.令X=2a,则h(2a)=d,-2a.设ci)=h(2a)=ea-2a(a>1),则,(a)=ea-2>0,:.(a)在(1,+)上单调递增.V£(l,+8),都有(a).(y)=e-2>0."(2)=0()=e"-2Q>0.MX)在+8)上有且只有一个零点.当a>1时，(力有两个零点.综上所述,当时，g(x)有一个零点.当=l时，g(x)有两个零点.当>l时，g(,有三个零点.求含参函数零点个数参变分离【例1】已知函数/(x)=e*-0r(aR)(e=2.71828是自然对数的底数)，求函数/(x)的零点的个数.【分析】由e一公=0,得。=构造函数g(x)=,然后利用导数求出其单调区间和极值,画出此函数的图像,再判断图像与直线y=的交点情况,从而可得答案.【解析】显然0不是函数/(x)的零，点，由e'-双=0得。=(工工0).令g(X)=亍，则gx)=e(；1).x<0或0<x<l时，g，(X)VO.x>l时，gf(x)>O.g(x)在(y,0)和(M)上都是减函数,在(1,+巧上是增函数.x=l时g(x)取极小值e,又当T<O时，g(%)<0,.0<e时,关于X的方程=更无解.X。=e或。<0时关于X的方程=J只有一个解.X。e时,关于X的方程=有两个不同解.X因此Q,aVe时函数，(可没有零点.=e或<0时函数/(x)有且只有一个零点.>e时,函数/(x)有两个零点.由零点个数求参数取值范围分类讨论这里分类讨论的步骤和前面讨论零点个数的步骤类似,不再复述，不同的是需要选取符合题设零点个数要求的参数范围，以及会用不等式放缩来赋值找零点(在后面的章节中会有详细讲解)，我们也可以通过取极限的方式来粗糙地确定零点，在考试时,这也是一种较快的解题方式,一般来说,判卷不严格也算对,但也可能会扣分.【例1】已知函数/=Inr-OX(wR).(1)讨论/(x)的单调性.(2)若/(x)有两个零点,求实数。的取值范围.【解析】函数F(X)=InX-的定义域为(O,+e),r(x)=L-.当出0时，由/'(x)>0,知函数y=(x)在(0,+8)内单调递增.当>0时：由r(x)>O,即L->O得0<x<1.Xa由f,(X)<0,即4<0得x>.函数y=(x)在(0,/)内单调递增,在(：，+8)内单调递减.综上,当&O时，y=/(无)在(0,+8)内单调递增.当白>0时，y=(x)在(0,，)内单调递增,在L+8)内单调递减.当4,0时，则函数=/5)在(0,y)上为增函数，函数丁=/(另最多一个零点,不合乎题意,舍去.当白>0时，由(1)题知，函数y=(x)在(0,j内单调递增,在内单调递减.且当x0时，f(x)-.当“时，fx)-.则-=ln-1=-Ina1>O,即Ina<-1,解得0<<-.a)ae因此,实数。的取值范围是(OS.【例2】已知函数/(x)=ee'-2(+l)+23(e为自然对数的底数,且见1).(1)讨论“力的单调性.(2)若/(x)有两个零点,求。的取值范围。【解析】(D(x)=evel-2(+1)+elev+2a=2e2x-2(a+l)ex+2a=2(e'-l)(e'-0).当4,O时，ex-a>0,则当冗<0时，r(x)<0,故/(力在(P,0)单调递减.当K>0时,/(%)>O故/(力在(0,+>)单调递增.当0时，由/'(%)=0得士=111。，x2=0.若=1,则/(X).0,故J在R上单调递增.若0<vl,则当X<Im或X0时，/'(x)>0,故/(%)在(TZUn和(0,+8)单调递增.当Ina<无<0时，/'(x)<0,故/(x)在(Ina,0)单调递减.(2)当=1时，/(力在R上单调递增,不可能有两个零点.当0<<l时，/(x)在(-U11),(0,+。)单调递增,在(Ina,0)单调递减,故当X=Ina时，力取得极大值,极大值为/(lnO)=-(+2)+2HMV.此时，/()不可能有两个零点.当二O时，="卜一2),由力=0得X=In2.此时，/(x)仅有一个零点.当<O时，/(x)在(y,0)单调递减.在(0,+8)单调递增."=/(0)=-心.力有两个零点，.J(0)<0解得4>-<«<0.22fl11/(l)=ee-2(6r+l)+2«>0.取力<C，则")=e"-(a+l)2-(+1)2+2ab>?-(a+l)2.0.故/(x)在(TR,0),(0,+8)各有一个零点.综上，。的取值范围是例3已知函数/(力=2疣”一如一HrMaR),若函数/(%)有两个零点,求实数的取值范围.【解析】函数/(x)的定义域为(0,+8).由r(x)=2(x÷l)ev-a-=(x+l).I2ev-(x+l)QXeX-a)当&o时，r")>o,此时/(X)单调递增,最多只有一个零点.当0时，令g(l)=2c-(x.0).由g'(x)=2(%+l)er,可知函数g(x)单调递增.又g(O)=-a<0,g(«)=2aeaa=a(2e"-1)>O,可得存在为(0,4),使得g(为)=0,有M=方可知函数/(%)的单调递减区间为(O,/),单调递增区间为(XO,+8).若函数/")有两个零,点,必有/(x0)=2xex°-OXO-6rlnx0=a-a(x0+lnx0)=Q-Qln(4e")=Q-HnWVo/Oac(aea-又由/(e'a)>-aea-anea=a2-=L>0令MX)=X-IrL有r(x)=l=x-1令(x)>0,可得x>L故函数MX)的单调递增区间为(1,+“)，单调递减区间为(o,),有z(x).(l)=l=>x-lnx>l.当x>ln4时，ev>4,(x)=x(2e'lnx>x-lnx=(x-lnx).>O.可得此时函数/(Jr)有两个零点.由上可知,若函数/(力有两个零点，则实数的取值范围是(2e,+8).由零点个数求参数取值范围参变分离参变分离法解已知含参函数y=(Lx)在区间可上零点个数,反求参数取值范围问题的一般步骤：第一步：y=(A,)的零点。方程/(匕尤)=。的解,参变分离后得A=g().第二步:利用导函数研究出函数g(x)的函数图像.第三步:讨论常值函数2和函数g(x)图像在区间,句上的交点个数，即为y=f仅在区间。回上零点个数.例1已知函数fx)=rc-kxkR),若/(x)有唯一零点,求Z的取值范围.【解析】由/(尤)=hu-Ax有唯一零点,可得方程InX-H=O,即攵=,有唯一实根.令MX)=3，贝ij/(X)=由A,(x)>O,得OVXVe.由Zf(X)<0,得x>e.(x)在(0,e)上单调递胤在(e,+8)上单调递减.i(x),Me)=L又(I)=0,当OVXVl时，(x)VO又当xe时，MX)=3>0,由(X)=U竺得图像(如下图所示)可知，A=J或鼠0.Xe【例2】已知函数/(x)=e'-(x+2),若/(x)有两个零点,求的取值范围.【解析】若/(”有两个零,点,即eAj(犬+2)=0有两个解.从方程可知，X=-2不成立,即。二三有两个解.x+2er(x+2)-et _eA(x+l)(x+2)2- (x+2)2px4(x)=-(x-2),则有“(x)=令厅(X)>0,解得x>-l.令"(x)<0,解得1<-2或-2vxv-l.函数(同在(x>,-2)和(-2,-1)上单调递减,在(一1,+。)上单调递增,且当XV-2时，(x)<0,Wx-2+,(x)>+<».当X>÷co时,hx)+.当。二工有两个解时,x+2Wa>(-l)=-,e.满足条件的的取值范围是(5+e,.例3已知函数冗)=(27”+ar2x)(>0),若/(x)有3个零点,求实数的取值范围.【解析】由/(x)=0得(2-x)e'+办(Jr2)=0,即(2-x)(e'-0r)=0,显然x=2是方程(2-司(e*-0r)=O的一个解,即x=2为/的一个零点.1Y当x2时，由e'or=O,得上=二.aqx令g()号贝"g'()=M,.当x<l时，g'(x)>O.当4>1时g'(x)<O.g(%)在(-8,1)上递增,在(1,+8)上递减.x=l是g(x)的极大值点,也是g(x)的最大值点,且最大值为g(l)=g.当x>l时，g(x)在(1,+e)上单调递减,且g(x)=W>。，随着工的无限增大，g(x)无e限趋向0.当0<x<l时，g(x)在(0,1)上单调递增,且g(x)>O.当工,0时,8(力在(-00,。上单调递增，g(x),0.当X趋向负无穷大时，g(x)也趋向负无穷大.g(x)的大致图像如下图所示:111?e21r.当0，上，且上7，即。已且。三时,方程已=三有两个实根,且aeae2ae一个实根在区间(U)内，另一个实根在区间(1,+e)内./2/2综上，/()有3个零点时,实数。的取值范围为e，5卜+8.I免费增值服务介绍，V学科网(https:WWW3网校通合作校还提供学科网高端社群出品的老师请开讲私享直播课等增值服务。V组卷网(https:ZUjU)是学科网旗下智能题库，拥有小初高全学科超千万精品试题，提供智能组卷、拍照选题、作业、考试测评等服务。扫码关注组卷网解锁更多功能扫码关注学科网每日领取免费资源回复"ppt"免费领180套PPT模板回复"天天领券"来抢免费下载券