立体几何中的截面问题.docx

立体几何中的截面问题一、知识点梳理一、鼓面问鹿的理论依据(1)确定平面的条件不在同一平面的三点确定一个平面；两条平行线确定一个平面(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行二、鼓面问题的基本思路1.定义相关要素用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点.此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点.截面中能够确定的一部分平面叫做截小面.2 .作截面的基本逻辑：找截点T连截线T围截面3 .作截面的具体步图(1)找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点(2)连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线(3)围截面：将各截线首尾相连，围成截面三、作截面的几种方法(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点方法：两点成线相交法或者平行法特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）;2.“第三点”是在外棱上，如C,注意：此时合格Cl点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处,只要在棱上就可以.方法一：相交法，做法如下图.方法二：平行线法，做法如下图.二、题型精讲精练【典例1用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（）A.直角三角形B.直角梯形C.正五边形D.正六边形【答案】ABC【分析】根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项.【详解】当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形,截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形；当截面为五边形时，不可能出现正五边形；截面为六边形时，可能出现正六边形，故选：ABC.【典例2】已知正四棱柱AbeOA4GA中，BE=*=2,AAB=3AAif则该四棱柱被过点A，c,E的平面截得的截面面积为.【答案】1219【分析】在。A上取点尸，使得A尸=2,连接AEC广，则四边形AECF是平行四边形，由勾股定理可得AE,CE,，再结合余弦定理与面积公式即可求解【详解】由题意，正四棱柱A6COA4G。中，BE=W=2,4A3=3AA,可得AAl=BBl=CG=8,BE=2,在DR上取点尸，使得DF=2,连接AEC尸，则有A/=CE,A1/CE,所以四边形AEC厂是平行四边形，由勾股定理可得A=62+62=62,CE=22+62=2i,tC=62+62÷82=234,所以c"*言萨=策段患=噂所以SSg得，所以四边形W是平行四边形的面积为AEXECXSinNAEC=6艰2而X甯=12加，故答案为：12M【典例3】如图，在正方体ABa)-ABCa中，ab=4,E为棱BC的中点，尸为棱AA的四等分点(靠近点A),过点AE尸作该正方体的截面，则该截面的周长是.【分析】首先根据面面平行的性质定理作出过点4旦F的正方体的截面，从而求截面的周长.【详解】如图，取GA的中点”，取CG上靠近点G的三等分点G,连接A£EGG”,“EE4,易证AE"EA”EG,则五边形AEG尸为所求截面.«4因为A3=4,所以BE=CE=CIH=DlH=2,AxF=3,DF=l,CG=g,C1G=-则AE=25EG=*GH=巫,HF=EAF=5,故该截面的周长是J3AE+EG + GH + HF + AF =9百+25 + 2而.故答案为:9> + 25 + 2i5【典例4】已知三棱锥A-3Cz）的所有棱长均相等，四个顶点在球O的球面上，平面经过棱AB,ACf5.AD的中点，若平面。截三棱锥A-BS和球。所得的截面面积分别为S,S2,则寸=（）33r33r33A.o.V.U.868464;T【答案】B【分析】根据平面截三棱锥A-BCO所得三角形为正三角，即可求出三角形面积及外接圆面积，即可求解.【详解】设平面。截三棱锥A-8C。所得正三角边长为a,截面圆的半径为r,则Sl=立.S1 33S2 6故选：B14由正弦定理可得二=毡。，.a=仃2=皿sin6003-3【题型训练-刷模拟】1.截面形状问题一、单选题1. （2023全国高三专题练习）用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形【答案】D【分析】用平面去截正方体时最多和六个面相交得六边形.如图，用平面去截正方体时最多和六个面相交得六边形，因此截面的形状可能有：三角形、四边形、五边形、六边形,不可能为七边形，故选:D.2. （2023全国高三专题练习）己知在正方体ABC。-A/CQ中，E,F,G分别是A8,的中点，则过这三点的截面图的形状是（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【答案】D【分析】利用平行画出截面，进而判断出正确答案.【详解】分别取AG、DD、AD的中点H、M、N,连接G”、HM、MN,在正方体ABCO-AgGR中，E9F,G分别是AB,BB,BC的中点,.HG!ENtHM/EF,FG/MN,.六边形打C”MN是过E,F,G这三点的截面图,.过这三点的截面图的形状是六边形.故选：D3. （2023全国高三专题练习）已知在长方体ABCQ中，AB=BBI=2BC,点P,Q,T分别在棱BB,CG和AB上，且BP=3BP,CQ=3ClQtBT=3AT,则平面PQr截长方体所得的截面形状为（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【答案】C【分析】连接。P并延长交C8的延长线于点E,连接口并延长交AO于点S,过点S作SR/EQ交。A于点R,连接RQ,即可得到截面图形，从而得解.【详解】如图连接QP并延长交CA的延长线于点E,连接Q并延长交AD于点S,过点S作SR/EQ交DDl于点R,连接RQ,则五边形PQRST即为平面PQT截该长方体所得的截面多边形.其中因为67=38尸，CQ=3CQ,BT=3AT9PRRP11所以:.EBPs&ECQ,则万=Kr力所以EB=：BC，ECCQ32QAT111又SATSEBT,=-=,所以SA=WE8=/Al),EBrB336则SD=AD,O显然SoRSECQt则/二考，所以DR=WQC=ICjDD-GCC91212故选:C4. （2023秋江苏南京高三统考开学考试）在正方体A8CQ-A8£2中，过点B的平面。与直线AC垂直，则。截该正方体所得截面的形状为（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【答案】A【分析】作出辅助线，证明出BO_L平面AAC,所以BDl_A。，同理可证明BCAC,得到ACL平面BCp,故平面。即为平面BCQ,得到截面的形状.【详解】连接325G,G2AC,因为AAJJ"平面ABCf）,或Ju平面A88,所以AA1J.BD,又四边形A88为正方形，所以ACJ»80,又AAlAC=A9AAI,ACu平面AAC,所以8Z）J_平面441C,因为ACU平面AAC,所以8O_LA。，同理可证明8GLAC,因为SGBD=B,BJ,BDu平面BaD,故AC_L平面8Cq,故平面。即为平面BCQ,则。截该正方体所得截面的形状为三角形.5. （2023河南模拟预测）在正方体ABCo-AgCQ中，M,N分别为AO,GA的中点，过M,MBl三点的平面截正方体ABCO-AgGR所得的截面形状为（）A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形【答案】B【分析】在AH上取点。，且8Q=3AQ,取8中点为P,在。A上取点R,且。R=3。/?.通过一©4册2.尸。8,可得ZAQM=NBPC,进而得出ZABp=ZAQM,QMBP.通过证明用NBP,得出用NQM洞理得出NR4Q,即可得出正方体的截面图形.【详解】在AB上取点Q,且8Q=3AQ,取。中点为尸，连接QM、BRNP,BQ.在。A上取点R,KDiR=3DRt连结NR,MR.因为箜=则CP BC-,ZQAM = ZPCB, 2所以QMSAPC8,所以ZAQM=NBPC.又A8CD,所以NABP=N砒;，所以ZABP=/AQM,所以，QM/BP.因为MP分别为GR,CO的中点，所以PNCC且PN=CG.根据正方体的性质，可知484CC,且BB=CC,所以，PN/BByf且PN=BB,所以，四边形BPN片是平行四边形，所以，BiN/BP9所以片NQM.同理可得，NRHBQ.所以，五边形QMRN4即为所求正方体的截面.故选：B.6. （2023全国高三专题练习）在如图所示的棱长为20的正方体48CD-AgGR中，点M为Cz）的中点,点P在侧面A。AA上，且到AA的距离为6,到AA的距离为5,则过点P且与AM垂直的正方体截面的形A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【答案】B【分析】根据线面垂直的判定与性质，以及正方体的截面的性质、平面的基本性质，即可求解.【详解】如图所示，过点尸作所AA分别交AA,DR于点E厂,因为AA_L4。，可得E尸J.?1,。，在正方体ABe。-AAGA中，Co_L平面ADRA，所以EF上CD又C。A。=。,所以所1平面MDVAoq平面MDAI,所以ADjLEE过P作PKLAA交于AR点K,则PK=6,设KF=XFKKP（6则、=卡，所以西=而，即布=而，则"=6所以AF=AK+KF=5+6=11在正方形4蜴GA中，取CR的中点M,连接MMi,4M则V4/R与VRGN,则ZD1A1M1=NDG所以NDM+NDMA=4NDM+DxM=90。,即AM1DN取4G的中点N,过F作FH/DN交BG于点H,连接RN,则4例1，尸"又MMl_L平面A瓦Ca,所以MM_LFH,由MMCAM=M所以尸HJ_平面AMM,所以"7J.AM又EFCFH=F,所以A"l¥面EFH连接过H作HG/BC,由BCJ/AD，则BCJ/FE,所以HG"FE(且HGFE)连接EG,则四边形EFHG为梯形，所以AM!平面EFHG所以截面的形状为四边形边形EFHG.故选：B.7. (2023上海高三统考学业考试)如图是长方体被平面所截得到的几何体，四边形EPG”为截面，长方A.梯形B.平行四边形C.可能是梯形也可能是平行四边形D.不确定【答案】B【分析】根据长方体的性质，结合面面平行的性质有“GM,EHFG,即知瓦G/7的形状.【详解】由长方体的性质：各对面平行，易处HGlIEF,EHHFG,JEPG为平行四边形.故选：B2.求截面的面积一、单选题1. （2022春山西朔州高一校考阶段练习）在正方体A8CQ-18GA中，棱长为3,E为棱网上靠近BI的三等分点，则平面4£乌截正方体48C。-AMGR的截面面积为（）A.211B.411C.222D.422【答案】C【分析】根据题意运用基本事实作出截面，根据截面的几何特征求其面积即可.【详解】延长AEA4交于点F,连接DF交BG于点G,如图，在正方体ABC。一A中，面ADDiAi面BCGBI,面AFD1面ADDlAi=ADi9面AFD1面BCCE=EG.ADJIGE,又AD,=32,GE=2四边形AEGA是梯形，且为平面A印载正方体ABCD-4用Ca的截面.又DlG=AE=13,在等腰梯形AEGR中，过G作GLAR,:.GH=QDG-DIH2=115=y（AD1+EG）GW=（+32）T=222.故选：C.2. （2022秋安徽合肥高三统考期末）己知正方体A8CQ-AMGR的棱长为2,M、N分别为A始、片G的中点，过M、N的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（）A.22B.25C.D.【答案】D【分析】画出图形，可得最大面积的截面四边形为等腰梯形MNCA,根据梯形的面积公式求解即可.【详解】如图所示，最大面积的截面四边形为等腰梯形MMX,【答案】C其中MN=AC=2无、AM=CN=#,高为h故面积为;(+2)=g.故选:D3. （2023安徽蚌埠统考一模）如图，正方体ABCQCA的一个截面经过顶点AC及棱A妫上一点K,截面将正方体分成体积比为2:1的两部分，则差的值为（）D.¥【分析】画出截面,得到截面把正方体分为三棱台ABC-KBiM和另一几何体,根据棱台体积公式求出KBi,进而求出务的值.【详解】设正方体棱长为1,KBI=X,如图所示，该截面把正方体分为几何体ABC-KA附和另一几何体,由面面平行的性质可知：KM/AC,延长AK,CM,相交于点0,则Oe平面A84A，且O平面8CC4,又平面ABBlAi平面BCCiBl=BB1,所以。在直线B片上，即AK,CM,BB三线共点,所以几何体ABC-KqM为三棱台，其中三梭台ABC-K与M上底面积是g/,下底面积为高等于1,所以"二翳步在呆卜/解得与1,所以AK = I-5-l 3-5 AxK 3-52 'KBj 225-lX 5-l2故选：C4. （2023春全国高一专题练习）已知三棱锥P-ABC的所有棱长均为3,球。与棱附，PB,PC都相切,且平面ABC被球。截得的截面面积为2,则球。的半径为（）.A.1B.y2C.22D.或2【答案】B【分析】过点P向底面ABC作垂线，垂足为01，连接AQ,由球O截平面ABC所得的截面面积为2,得截面圆的半径为,设球O的半径为R,得Oa=病二,过O作PA的垂线，垂足为D,得APAOSPODt可得占=展，进而求得R=0.f/1AC【详解】过点P向底面ABC作垂线，垂足为。一连接4。，则球心O在线段Pa或其延长线上，为正一ABC的中心，则Aq=gx咚A8=J,POi=yPA2-AO=6.设球。的半径为R,因为球O截平面ABC所得的截面面积为2兀,所以截面圆的半径为血,所以Oa=JR2-2,扭.过O作PA的垂线，垂足为D,则OD=K,、P0ODAOISPOD9所以句=7T11l1(-Zi当点o在线段Pa上时,卡一手工=干,即尿三=«-同， 33贝1)/?2-3后+4=0，fi6-3C0,解得R=无;即代-2 =例-#，当点O在线段Pa的延长线上时，R-233贝11r2-3舟+4=0，fi3?-60,解得R=2或R=应，当R=时，点O,O重合，此时点O不在线段Pa的延长线上，故舍去；当R=20时，切点D不在棱PA上，不符合题意.综合可知，r=6,故选：B.5. （2023吉林通化梅河口市第五中学校考模拟预测）若球0是正三棱锥A-BCD的外接球,3C=3,A3=2L点E在线段84上，BA=3BE,过点E作球。的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（）A.B.2C.D.兀33【答案】A【分析】设。是球心，。是等边三角形8。的中心，在三角形OD。中，有Oon+DO，=“2,可求得R=OD=2,再利用r2=R2-OE2可得过E且垂直OE的截面圆最小即可.如图所示，其中。是球心，O'是等边三角形8C。的中心，可得O,B=O,D=*BC=y3，AOr->AB2-OrB2=3，设球的半径为R,在三角形OZXr中，由OO2+00,2=002,即（3R）2+（G）2=r2,解得r=2,即AO=2,所以OX=300,因为在ZA50'中，O,A=3O,OtBA=3BEt所以，OEHOfB9E=-OfB=-t33由题知，截面中面积最小时，截面圆与OE垂直，4R设过E且垂直OE的截面圆的半径为/，则产二R2一。炉=4_g=1,所以，最小的截面面积为H,=,.故选：A6. （2023四川内江四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球。是正三棱锥A-BaX底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC=0,AB=,点七是线段BC的中点，过点E作球。的截面，则所得截面面积的最小值是（）3C2C兀A.B.C.D.一4324【答案】A【分析】如图，O是A在底面的射影，求出底面外接圆的半径和几何体外接球的半径，当截面垂直于OE时截面面积最小，求出截面圆的半径即得解.【详解】如图：。是A在底面的射影，由正弦定理得，ABCD的外接圆半径=sin602由勾股定理得棱锥的高IAqI=斤=1设球。的半径为R,则R2=（y+1,解得R=L所以Ioq卜0,即与。重合，所以当过点E作球O的截面垂直于OE时，截面面积最小，此时截面半径为阳=冬截面面积为手.故选：A.7. （2023秋湖南长沙高三长沙一中校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体ABa）-A与GA中，m,n分别为棱AA，。的中点，过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（）【答案】C【分析】易得正方体外接球的球心在其中心点。处，要使过MN的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段MN的中点Q求解.【详解】解：如图，正方体外接球的球心在其中心点。处，球的半径R=gi7TB于=*,要使过MN的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段用N的中点Q,连接OMQN,典OM=ON=MN=立,2所以OQ=JoM2-(Jmn)=乎，此时截面圆的半径，=Jr2-oq2=手,此时，截面面积的最小值S=/=.O故选：C.8. (2023四川成都校联考模拟预测)在三棱锥V-ABC中，BV_L平面V¾C,VA=i,AB=AC=3,COSNVAC=正，点尸为棱AV上点，过点尸作三棱锥V-ABC的截面，使截面平行于直线丫8和AC当2该截面面积取得最大值时，CF=()A.叵B.在3 2r7n134 3【答案】B【分析】通过作平行线作出题中的截面，并结合线面平行以及线面垂直说明其为矩形，利用三角形相似表示出矩形的两边长，并求得其面积表达式，结合二次函数性质确定截面面积取得最大值时参数的值，解直角三角形即可求得答案.【详解】根据题意，在平面VAC内，过点F作E尸AC,交VC于点E；在平面VBC内，过点E作项VB,交BC于点Q；在平面VAB内，过点F作F交AB于点D,连接DQ,如图所示，YFIzFFF因为EFAC,JrvCAS阳7,设其相似比为k,即777=W=7=%,VAVCAC贝JEF=>2ki又因为%=1,AC=>j2>cosZVAC=»2由余弦定理得，VC=Jl+22l0X喙=1，MVC2+E42=AC2,即VC_L0L又8V_L平面EAC,VC%u平面%。，所以BVJ_VC,BVYVA.又AB=屈,则8V=1,BC=-Jl.Fr)因为尸OVS,则AArosZXAVB,则警=筹=匕，AVABVB因为竺VZJ一,所以四二丝=1_2,即FD=I-3VAVVBVA，同理可得。E=I-左，即QE=FD,因为白2Vfi,FD/VB9则E。F。，故四边形E五力。为平行四边形；而EQU平面。DQ,1必0平面£*。，故VB平面EFa2,同理AC平面历92,即四边形EFDQ为截面图形；又3V_L平面V¾C,MU平面V¾C,则BV上EF,又FD"YB,所以故平行四边形EFDQ为矩形，则S矩形瓦小所以当A=；时，S矩形EFDQ有最大值4，则I与=A¾=g在RtzCVF中，。尸=JE西必=j7J=q,故选：B9. (2023安徽合肥统考一模)已知正方体ABa)-A4GA的棱长为4,M,N分别是侧面CA和侧面Ba的中心，过点M的平面与直线M）垂直，平面1截正方体AG所得的截面记为S,则S的面积为（）A.53B.46C,76D.96【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量确定截面形状，再计算截面面积作答.【详解】正方体ABeA4GA的棱长为4,建立如图所示的空间直角坐标系，侧面CR的中心M(0,2,2),恻面8G的中心N(2,4,2),而D(0,0,0),有。N=(2,4,2),显然点M在平面。与平面CQQC的交线上，设P(O,z)为这条交线上任意一点，fP=(0,y1-2,zl-2),而M)JL平面M(PfW=4(y1-2)+2(z1-2)=0,即2y+z=6,令z=0,得点尸(0,3,0),令,得点G(0,1,4),连FG,平面。与平面ABCQ必相交，设0x,O)为这条交线上任意一点，F=(x,y-3,0),由/QON=2x+4(y-3)=0,即+2y=6,令x=4,得点E(4J0),连心，因为平面平面A88,则平面与平面AMGA的交线过点G,与直线FE平行，过G作GH正交AA于”。,0,4),GH=(r,-1,0),FE=(4,-2,0),由GH/FE得f=2,即"(2,0,4),显然平面与平面ADAA都相交，则平面与直线AA相交，令交点为K(4,0,M,EK=(OTm),由%0%=+2m=0得长(4,0,2),连接EK,HK得截面五边形瓦C"K,即截面S为五边形EEG"K,EF=FG=2区GH=EK=BHK=2册,取E/中点L(2,2,0),连接GL,EH,则GL=E"=T,左""山”sEK2-HK2-EH210.“s15在EHK中,cos/.EKH=,sinZ.EKH=,2EKHK55EHK的面积SEHK=；EKHKsinNEKH=；X小x2&X与=逐，士8,4，GF2+LF2-Ge1SE26在GL卬，cosZ.GFL=,sinZXJFL=,2GFLF55JGL边FL上的高h=FGsinNGFL=唾5梯形EFGH面积SMGH=L(GH+FE)h=L(小+2BX平225所以S的面积为s=S.K+Sw=76.故选：C【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法，直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.10. （2023辽宁沈阳东北育才学校校考模拟预测）在三棱锥4-8CO中，AB=BC=CD=DA=2,NADC=/ABC=9b,平面ABCl平面ACO,三棱锥A-BCD的所有顶点都在球。的球面上，瓦厂分别在线段。8,Co上运动（端点除外），B石=C尸.当三棱锥E-ACr的体积最大时，过点尸作球。的截面，则截面面积的最小值为（）3A.B.3C.-D.2【答案】C【分析】取AC的中点0,证得。为球心，利用二次函数求出三棱锥E-46的体积最大时X的取值，当OF垂直于截面时，截面圆的面积最小，求得截面圆的半径.【详解】如图，取AC的中点。,连接OF,OB,0D,因为NADC=NABC=90。，所以QA=QB=OC=OO=；AC,即。为球心,则球。的半径R=2,又A8=8C,所以O8_LAC,又平面A3C/平面AC0,平面ABCe平面ACD=AC,03U平面A8C.所以08_L平面AC。，S,CF=t贝!)8E=e<2,所以OVXV,所以三棱锥E-Ab的体积V=gSACF×OE=gx；CF×AD×OE=2,(2>x)x)=-x+当X=立时W取得最大值,23由于OA=O8=OC=8,在一COF中,由余弦定理得：OF=yOC2+CF2-IOCCFcosZACF=J4÷-2×2×-×-=.V2222根据球的性质可知，当可垂直于截面时，截面圆的面积最小，设此时截面圆的半径为所以r=J/。尸2=卜一（萼）泻.则截面面积的最小值为兀/=（乎）=.故选:C.11. （2023江苏高一专题练习）己知正四棱锥S-ABCO的底面边长为2,侧棱长为2,SC的中点为£过点E做与SC垂直的平面。，则平面。截正四棱锥S-ABCD所得的截面面积为（）ATB.娅C.逑D.四3333【答案】A【分析】根据题意垂直关系可得平面1截正四棱锥所得的截面面为四边形AMEN,结合根据相似求长度，进而根据面积公式即可求解.【详解】连接ACA七，由题意可得：SA=SC=AC=2屈，即SAC为等边三角形，且E为SC的中点，可得A£_LSC,AE=«,故钻U平面,连接60,设BOcAC=O,连接SO,可得AC±BD,S"平面ABCD,且HoU平面ABCO,则3Q"LSO,ACSO=O,ACSOU平面SAC,所以8£)_2平面aC,AEU平面以C,则8Z)J_AE,在直线58取一点M,连接AM,ME,使得ME_LSC,“no/dsSB2+SC2-BC28+8-43在SBC中9cosZBSC=tT2SBSC2×22×224'门“SE近40因为A/£_LSC,可得)cosZBSC>4故SM=2MB,同理在棱SC取一点N,使得SN=2NC,连接NE,AN,MN,NElSC9故平面。截正四棱锥S-ABS所得的截面面为四边形AMEN,因为=熊=2，则MNBD,MN=gBD=，由比_LAE,可得MN_LA£；,所以四边形AAffiV的面积JAEMN=X丝=拽.2233故选：A.12. （2023春湖北武汉高一武汉市第十一中学校考阶段练习）己知正四棱锥P-A8C。的体积为36,底面ABc。的面积为18,点E、尸分别为孙、PC的中点，点G为总的靠近点B的三等分点，过点E、F、G的平面将该四棱锥分成上、下两部分，截面形状为四边形，则该四边形的面积为（）AWB.电IC*D,35555【答案】C【分析】连接AC、BD,设ACBD=O9连接PO,连接Ga并延长交PZ）于点，连接宓、GF、HE、HF,在APBD中,过点B作BM/GH交PD于点M,交尸。于点，过点M作MN工BD交BD于点N,证明出斯J.G”,计算出样、GH的长，进而可求得截面四边形的面积.【详解】连接AC、BD,设ACflBO=O,连接PO,易知Po为正四棱锥P-ABCQ的高，连接"交Po于点Oj因为点E、尸分别为RUPC的中点，则及7/AC,因为EFPo=0、,所以，O为PO的中点.连接Ga并延长交PZ）于点，连接GE、GF、HE>HF,因为四边形ABCQ为正方形，则ACJB。，因为P0/平面ABCD,ACU平面A8C。，所以，ACrPO9因为PoBD=O9POyBOu平面户班>,所以，AC_L平面P8Q,因为G"i平面P8O,所以，ACA.GH9则EhGH,四边形GE/"、为所求的截面四边形，如图L图1因为正四棱锥P-ABCQ的体积为36,底面ABC。的面积为18,所以底面ABC。是边长为3板的正方形，贝IlAC=BQ=6,由vp-bcd=SABCDPO=18×PO=36,可得尸O=6,在LPBD中,过前B作BM"GH交PD于点M,交PO于点5,过尽M作MN±BD交BD于息N,如图2.BdeGHPolPG2因为bmgh,则而"=恒=而=鼠13Q又为Po的中点，。为6。的中点，所以尸=PO=3,PO2=-PO=-f93Oa=PO-PQ,=6=-,OB=OD=39222, tan Z.MBDMN QO _ 3 1 _ 1 _ = × =BN 08 2 3 2-ki八八，MNPO6所以tanZ.MDN=DNOD3贝HON=；MN,BN=IMNt所以BD=BN+DN=2MNMN=MN=6,故MN=/，所以BN=三,则BM=JsM+MN2=Jj引+(/J得GH=ZBM=述.35故四边形GEHF的面积为SNiGEHF=LEFGH=>×3x还=诬,r4Xa>vcnr?255故选：C.【点睛】方法点睛：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键.（1）平面的四个公理及推论;（2）直线和平面平行的判定和性质;（3）两个平面平行的性质;（4）球的截面的性质.二、填空题13. （2023春河北保定高一定州一中校考阶段练习）在棱长为2的正方体A8C。-中，若E为棱BB、的中点，则平面AEG截正方体ABC。-A与GR的截面面积为.【答案】26【分析】作出截面截面AEGF,尸为。的中点，则可得截面AEGF是边长为正的菱形，求出其面积即可.【详解】如图，在正方体ABCZ）-A片GA中，平面ADQA/平面BlCICB,.平面AEC1与平面AD1DA的交线必过A且平行于C1E,故平面AEG经过OQ的中点/，连接AF,得截面AEG尸，易知截面AEGF是边长为正的菱形，其对角线EF=BD=26，AC1=23,截面面积S=gAG=g225=2#.故答案为：2614. (2022广西桂林校联考二模)在三棱锥ABCo中，对棱A8=8="AD=BC=13,AC=BD=M,当平面与三棱锥ABCD的某组对棱均平行时，则三棱锥ABCD被平面a所截得的截面面积最大值为【答案】3【分析】每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥ABCD放入长方体中，设长宽高分别为X,y,z,求出乂'*,由线面平行得线线平行，证明当民尸,G,”是所在棱中点时面积最大，按截面与哪对棱平行分类讨论求得截面面积的最大值.【详解】因为每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥ABCD放入长方体中，设长宽高分别为X,y,z,则yx1+y2->5,x2+z2=VlO,+z2=VrJ,则X=Ly=2,z=3.当平面«与三棱锥ABCD的对棱AB,CD均平行时,截而为四边形EFGH,AB/FGHEH,CD/EFHHGtApPPAp设等=r(0<f<l),则柴=等=3稗=<，同理由=(1一)，/”所(或其补角)是异面直线钻,8ACCDAC所成的角，三=EFEHsinAHEF=z(l-t)AB-CDsinZHEF,其中ABeSinN/E尸为定值，r(l-)=-2÷=-(r-l)2÷l,时，Wt)取得最大值，即截面)6面积最大，此时瓦EGH是所在棱中点，由长方体性知最大面积为长方体上下底面面积的一半BXy=I,I3同样地，当平面a与三棱锥ABCD的对棱AC,BD均平行时，截面最大面积为=不；当平面与三棱锥ABCD的对棱AD,BC均平行时，截面最大面积为彳弁=3.故答案为：3.15. （2019春上海高二上海市新中高级中学校考阶段练习）如图，在正方体ABC。-AMGR中，A8=1,DDi中点为Q,过A、Q、4三点的截面面积为一.Q【答案】:O【分析】先作出经过4Q、用三点的截面，如图所示为梯形ABZQ,然后求出截面的面积即可【详解】解：如图所示，取Ca的中点P,连接尸。、PB-A4、AQ和。C-PQ/CiD,且PQ=gcQ,VAB1/C1D,PQ/!AB.9所以四边形ABJQ是过A、。、用三点的截面，且四边形AB/。是梯形,VAB=I,22,228,AB1=712+12=2,PQ=叵,AQ=PBl=且等腰梯形ABfQ的高为，截面面积为3哼9故答案为：?O二更,16.（2023江苏常州江苏省前黄高级中学校考二模）在正四棱台ABCD-A,BCQ中，AB=2,例=23,M为棱UC的中点，当正四棱台的体积最大时，平面MAD截该正四棱台的截面面积是,【答案】103【分析】设B=2AB,=4x,上底面和下底面的中心分别为Q,O,过A作A”，AC,该四棱台的高00=h,可求得该四棱台的体积为V=TX%,利用基本不等式可得该四棱台的体积的最大值,此时A8=8,=4,OQ=h=2取CR,8C的中点N,E9连接NM,ND,可得平面MBOV就是截面，求解即可.【详解】设AB=2A=4x,上底面和下底面的中心分别为。1,0,过A作A"，/!。,该四棱台的高00=3在上下底面由勾股定理可知，Aq=(2x)2+(2x)2=2x,AO=17(4x)2+(4x)2=22x.在梯形AaOA中，AyA2=AH2+A"?=12=(22.v-2x)2+A2=>A2=12-2,所以该四棱台的体积为V=+J16l4l+4Y