FIR-滤波器和-IIR-滤波器的格型-梯形结构.docx

本文讨论全零点格型结构、全极点格型结构以及零极点格型结构4.3.5全零点格型结构1973年，Gray和Markel提出一种新的系统结构形式，即格型结构(latticestructure)<>这是一种很有用的结构，在功率谱估计、语音处理、自适应滤波等方面以得到了广泛的应用。这种结构的优点是，对有限字长效应的敏感度低，且适合递推算法。这种结构有三种形式，即适用于FIR系统的全极点格型结构和适用于IIR系统的全极点和零极点格型结构。下面先介绍图7.10所示的全零点格型结构。其他两种个性结构将留到第4.3节讨论。格型结构是由多个基本单元级联起来的一种极为规范化的结构。图7.11示出其中的第阳极。与FIR滤波器的宜接型结构一样，全零点格型结构也是没有反馈支路的，图7.10全零点格型结构图7.11全零点格型结构的基本单元让我们从一组FIR滤波器的系统函数开始研究全零点格型结构。图7.10中，以x()为输入序列，后接M个格型级，这样就形成M个滤波器：第加(m=1,2,M)个滤波器有两个输出，即上输出力5)和下输出g”,5)。以，5)为输出的滤波器称为前向滤波器；以为输出的滤波器称为后向滤波器。对于M个前向FlR滤波器，它们的系统函数为：Hlfl(z)=Am(zm=1,2,.,M(18)式中，4,(z)是多项式:4(Z)=I+Z4"(%)z”,mM(19)k=这里，为了数学推导的方便，令式子右边第1项为1；下标用代表滤波器序号，也代表滤波器的阶数，例如，给定4(0)=1以及。(I)M(2),(M),则第4个滤波器的系统函数为W4(z)=1+4(l)z,+4(2)z2÷4(3)z-3+d4(4)z4设第团个滤波器的输入、输出序列分别是x()和y()，则y(n)=X(")十Zq,r(%)x5-Z)(21)=其直接型实现如图12所示。x(n)图7.12FlR滤波器的一种直接实现形式m=1阶滤波器的输出可表示为y()=%()+4-1)(22)该输出也可以从图12所示的第一级格型滤波器得到。图中，两个输入端联在一起，激励信号为X5)。从两个输出端得到的信号分别为工()和g5):15)=M)+-0、(23)g1()=x(M)-X(M-I)其次我们考虑二阶FIR滤波器，它的直接型结构输出为y(n)=x(ri)+a2()x(n-l)+a2(2)x(n2)=x(n)x(n-l)x(-2)la1()2(2)t(24)上式将输出y()表示为两个向量的内积，T表示向量转置。相应地，这个二阶滤波器可以用两个级联的格型单元(图10前面的两级)来实现。，图中，第一级的输出为f5)=+kix(n-l),(25)gi(n)=kix(n)-x(n-)25)=E5)+%2g5-Dg2()=&2/l()+g|(T)将式(25)中的工5)代入式(26)中，得f2(n)=x(n)+kxn-1)+k2klx(n-1)+xn-2)=%()+K(1+k2)x(n-1)+k2x(n-2)现在令式(24)和式(27)的系数相等，即O2=k2,%=K(I+&)于是，得二阶格型结构的参数其中，&二%(2)这个结果是很容易理解的。从图7.12看，如果滤波器阶数机=2,则时延为2的输入输出传输值为2(2),而从图7.10看，从输入到上端输出有三条可能的支路,而其中时延为2的支路传输值为占。如果这两个流图等效，则应有G=(2)。因此可以推论，若有加个格型级，则其最右边的支路线与直接型结构的参数册(M)相等：kfn=a<m)为了得到其它支路传输值幻I，Z吁2”“，K与直接型结构的参数之间的关系，我们需要从图7.10所示的M阶格型结构的最右边做起：根据M阶混波器的直接型参数，依次求M-LM-2,M-3,.J阶滤波器的直接型参数。这是降阶递推。只要求出机阶滤波器的系数组4优)«=l,2,.,m,则格型结构的支路传输=4(加)。式(29)表明，二阶格型结构的两个参数仁和期可以根据直接型结构的参数求出。继续这个过程，可以得到一个m阶直接型FlR滤波器和一个机阶或机级格型滤波器之间的等效性。按照图7.10,格型滤波器可用递归方程描述为>5)=go5)=5)(31)fmW=九.|()+先达吁(-1),rn=l,2,.,f-1(32)gtnW=kmfn-5)+gg5-1),m=1,2,.,M-1(33)因此，第M-I级滤波器的输出相当于M-I阶FlR滤波器的输出，即(34)yW=fM_/n)因为FlR滤波器和格型滤波器的输出力.()可以表示为fm(n)=Yjam(k)x(n-k)an(0)=1(35)Ar=O而这个式子是两个序列的卷积和，所以它遵从Z变换关系En(Z)=At(Z)X(Z)现在我们来看二级格型漉波器的另一个输出g2()。由图710得g2(ri)=k2fx(n)+gi(n-1)=2x(h)+kix(n-1)+klx(n-1)+x(n-2)=k2x(n)+kl(l-k2)x(n-1)+x(n2)=a2(2)x(n)+a2(l)x(w-1)+x(n2)=x(n)x(n-l)x(n-2)a2(2)O2(l)1(37)可见，对于g2()为输出的后向滤波器，滤波系数组为%(2)02(l)1，而对于以力()为输出的滤波器，漉波系数组按相反次序排列，为1a2(l)a2(l)o根据以上分析。可见加级格型滤波器的输出gm(n)可以用卷积和形式表示为(38)gfn5)=E<k)x(j-k)K=O式中，滤波系数以(Q与产生输出，的另滤波器有关，只不过操作次序相反。例如，如果7=6,(O)=1,«6(1)=2,4(2)=4,4=7,4(4)=5,4=3,a6(6)=6,则&=1,&=2,4=4,其=7,风=5,风=3,&(O)=60m(k)= %<tn-k),Am5) = 1在Z域中，式(38)变为k= O,.,m(39)GJz)= Bm(z)X(z)(40)BQ)=Gfn(z)X(Z)(41)这里，BjZ)是下输出端相对于输入端的系统函数:Btt,(z)=Yma)z-k(42)A=O因为Sm(k)=afn(m-k),故/nmBm(Z)=Eam(m-k)z"=EaJJ)zi=ZfEam(j)z，k=Qj=OJ=O=Zf4(ZT)<43)这个式子描述前、后向滤波器系统函数之间的关系。现在我们回到式(31)(33)的递推方程组，并把它们变换到Z域，得玲(Z)=GO(Z)=X(Z)(44)工<z)="I(Z)+晨ZTGAl(z),m=1,2,.,M-1(45)G<Z)=kmF,ll(z)+zlGtl(zm=1,2,(46)各式除以X(Z)并利用前面的关系式，可得A)=为=1(47)AZ)=AjnJz)+kmz'iBltlJz),m=1,2,.,M-1(48)BJZ)=KAI+ZTB,I,m=1,2,.,M-I(49)因此，在Z域，一个格型级可用矩阵方程描述为4(Z)Il,T4-(2)&IAlLT4.=(50)利用式(47)(49)可以根据格型滤波器系数，从机=1开始按升阶递推法求出直接型滤波器系数。例给定三级格型滤波器如图13所示。确定与之等效的直接型结构的FIR滤波器系数。图13给定三级格型滤波器解根据式(48),得1(z)= 4(2) + z,(z)=l + z, =l + -z,14因此，对应于单级格型的FlR滤波器系数为4(0)= 1。4(1)= K=1,因&(Z)是4,(Z)的反转多项式，故其次,耳="对于m=2得格型滤波器，根据式(48)得A2(z)= , (z) + z,Bl(z)13_|1 -2=l+-z +-Z82因此,31对应于二级格型的FlR滤波器系数为a2(O)= l, 2(l) = ,2(2) = -o此外 82最后,B2(z)= - + -z-2 + z32 8添上第三个格型级，得出多项式4(Z)= 2(z) + k3zlB2(z)113-15-21-3=1 + z +-Z +-Z2483因此，与给定三级格型滤波器等效的直接型FIR滤波器系数为1351%(0)= L %= 9=;24 o 31351G(O)=1,生=有，。3=-,«3(3)=-Z4oJ假定已知M阶直接型FIR滤波器的系数或者多项式4式z),我们希望确定相应的格型滤波器的系数组化,i=1,2,.,M。对于第M个格型级，可直接得出女M=AM(A/)，所以,只需从M-I开始降阶递推过程。为了得到ZM-,只需求出多项式Aw-.(2)=1+Aw-O)z,+.÷Ai(M-I)Z-(MT)就可以得到ZM-=4WT(M-1)。根据式(48)和式(49),可以得到降阶递推关系：An(Z)=A”(Z)+3Z-RT(Z)=An-I(z)+k”IBKZ)-kmAm,l(Z)J于是，Al(Z)=A"(z)g凡(z),m=M-lM-2,.4(51)1-km例设FIR滤波器的系统函数为/(z)=A,f(z)=l+-ZT+-Z-2+-ZT“2483确定对应于该FIR滤波器的格型系数。解首先，直接得出左3=。3(3)=g,而且r*/、15T13-2-3R(z)=-+-z+-z+z33824在机=4的情况下，利用式(51)降阶递推，得(¾-y=1+3z-+lz-221-片82113因此，女2=生(2)=2和与(2)=5+WZ'÷Zo最后，在相=2的情况下，再降阶递推，得A2一NS(Z)1-1A(Z)=2:2=l+-z个1-好4因此，K=A(I)=I图13示出所得三级格型滤波器。4.3.5IlR系统的全极点格型结构IIR滤波器的全极点系统函数H(Z)为“(Z)=M(12)i-z-A=I与M阶FIR系统函数相比较，可见这两种系统互为逆系统。我们在第节以研究了FlR系统的(全零点)格型结构。现在我们要基于式(12)找出IIR系统的全极点格型结构。最简单的途径就是研究逆系统的信号流图，从中找出规律。给定一阶FIR系统函数为H(z)=-=c+k,z-i(13)X(Z),则差分方程为y(n)=cx(n)+kix(n-1)(14)图19是相应的信号流图工(月)O->9+oJ包拳自OZT图19一阶FIR系统逆系统的系统函数为"'(Z)=Y(Z)_1X(z) c + kiz-l(15)其差分方程为(16)y()=-x()-k、y(n-1)图20示出相应的信号流图。1cX(H)OHpk-OJ色)图20一阶FIR系统的逆系统所以，可以按照图21所示的中间步骤从原系统得到逆系统：(1) 将原系统流图的直通通路全部反向(图21a)。(2) 原系统流图的直通通路传输值取倒数(图21b)。(3)指向直通通路的支路传输值改变符号(图21c)。(4) 改变输入、输出位置(图21d)(5) 按照习惯，改画图21d,使输入端在左，输出端在右，即可得到图20所示的逆系统。图21从一阶FlR系统得到其逆系统的中间步骤于是，可以用上述方法从图7.10的全零点格型结构得到图7.22的全极点结构第1级第2级第副-1级 第时级,求其格型结构系数并画图7.22全极点格型结构例己知IIR系统函数为"R(Z)=：1IJT.21-31+z+-Z+-Z2483出该结构。解：1QS1例已求出FIR系统函数为“FIR(Z)=1+二zT+?z-2+!z-3的格型结构，如图r24837.23所示。K1=13/24,K2=1/2,=1/3图7.233阶FIR系统的格型结构今逆系统HUR(Z)=5,根据上述求逆系统流图的方法，可知图14是HUR(Z)的流图。r(z)例已知HR系统函数为H(Z)=：2=-：，求其格型结构系数1-1.7z-,+1.53z-2-0.648z-3并画出该结构。解利用MATLAB函数dir21atc可以由已知的直接型结构求出格型结构系数。本例的MATLAB程序如下：b=l-1.71.53-0.648;k=dir2latc(b)运行结果：k=1.0000-0.70260.7385-0.6480所得的格型结构示于图7.25。4.3.6IlR系统的零.极点格型结构既有极点又有零点的IlR系统函数为MSbkZTH(Z)=%=0(17)A。，心3*=它的格型结构示于图7.26。由图可以看出：(1) 如果G=C=.=c,v=O,。0=1，则图7.26和图7.22的全极点系统的格型结构完全一样。(2) 如果kx=k2=.=kN=0,则7.26变成一个N阶FlR系统的直接实现形式。因此，图7.26的上半部对应全极点系统1/A(z),其输出点在图中的Y点。显然，下半部对上半部无任何反馈。于是，参数%七，Mv仍可按全极点系统的方法求出。上半部对下半部有影响。所以系数组q和.不会完全相同。现在的任务是求出q,/=0,l,.o第N级笫N-I级第1级图7.26零点-极点系统的格型结构上一节论述FIR全零点格型结构时，曾介绍前向、后向滤波器的系统函数。现在，由图7.26可以看出：下半部的N个输入就是N个后向滤波器的输出g,5),加=0,1,W。将图7.26与图7.10对比一下，可知对于图7.26来说，后向滤波器的系统函数是B(2)=,m=l,2,.,N(18)'Y(Z)在按全极点格型结构计算方法计算图7.26的系数K,22,%n时，同时算出了4,(Z)。图7.26中，下半部的N个输入端，用实心圆点标出。定义整个系统的输入端到下半部的N个输入端之间的系统函数为Hm(z)=G,(z)X(z)(19)故得Hn(z)=Gm(Z)Go(Z)=(20)G0(z)X(Z)整个系统的系统函数应是万O(Z),万(z),.,万'n(Z)加权后的总和，即CmBm(Z)=B(Z)A(Z) -A(Z)N_N(21)(上一节的公式)H(Z)=ECmHfn=E"1=0Iit=O式中，Bn(z)=z-nAl,l(z-i)在求解匕出时,将同时产生出4(Z)和纥f(z).详见第节。将式()代入式(21),得NB(z)=Yjbnz-lllAn(z-l)(22)m=0下面说明系数组q的递推计算法。m阶多项式Am(Z-I)的形式如下：A.(ZT)=1+am()z+品z?+am(h)zm(23)将式(23)代入式(22),可求出多项式系数血,r与%,和册的关系为CN(24)Nbtn=cftl+Zciai(i-m)，m=0,1,.,N-I(25)f=m+l这样，若给出图7.26中的系数组%j,则可求出该系统的系统函数分子多项式的系数。反之，若给定零极型系统的系统函数，则可得到系统的格型实现。具体步骤是：(1)计算图7.26中的系数组伙m。(2)利用式(24)和式(25)从CR开始后向递推求出CM，J_2，0。例己知一个IIR系统的系统函数为3+-z-,+-z-2-131CIT1-21-31+-ZH-ZZ636画出该系统的格型结构。解：根据给出的分子多项式，知52j3=0,=3,=-,=-作为习题，先求出全极点子系统"(z)=：；：-的格型结构的系数组l+-z+-Zz636伙。然后根据式(24)和式(25),求得系数组%如下：c3=b3=0c2=b2-c3a3(l)=0.6667ci=bl-c2a2(l)-c3a3(2)=1.15143c0=-cial(1)-c2a2(2)-c3a3(3)=2.5最后，画出零极点格型结构如图27所示。图27例的零极点格型结构现在我们用MATLAB的函数dir21adr验证以上计算结果。文献提供了这个函数，本书把它转录于所附光盘中。这个函数将直接型结构转换为格型结构0%functionK,C=dir2ladr(b,a)%K=格型系数占,An%C=梯型系数Co,q,.,Cjv%b=直接型的分子多项式系数%a=直接型的分母多项式系数程序如下：b=35/32/3;a=l1/61/31/6KCJ=dir21adr(b,a)运行结果：K=0.16670.3714-0.1667C=2.50001.51430.6667由几种结构的分析可以看出，格型结构需要较大的运算量。N阶格型结构需要2N次乘法，而直接型和级联型仅需要N次乘法。但用格型结构实现的系统对有限字长效应的敏感度低。