抽象函数性质知识总结与题型归纳（解析）.docx

抽象函数性质知识总结与题型归纳1概念：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2常见抽象函数模型题型一：“巧妙赋值”求函数值问题技巧再现：“赋值思维”抽象函数求解或者证明奇偶性和单调性基础。有如下规律技巧：(1)第一层次赋值：常常令字母取0,1,1等(2)第二层次赋值：若题中有条件f(x0)=t,则再令字母取X。.(3)第三层次赋值：拆分赋值。根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积(较多)或者差与商(较少)。例1：已知函数f(X)是定义在(0,+8)上的函数，且对任意,y(0,+8),都有/(秒)=f(%)+f(y),2)=1,求/(4)/(8).【解析】对任意,y(0,+),都有/(孙)=(x)+f(y),"2)=1,/(4)=f(2X2)=/(2)÷/(2)=2,f(8)=f(2×4)=f(2)+f(4)=3.例2:已知/(x)定义域为R,对任意XjeR都有/(+y)=()+(y),当x>2时，/Cv)<0,/(2)=0.求/(1),/(0),/(T)的值；解：(1)在3+(y)二中令X=y=,得2()=(2),因为/(2)=o所以/=5,令=y-o得2(o)=/()÷,解得/(°)=，令ILLl得，/(H/(T二/(o)+,即"I,解得；例3:对任意实数,y,均满足/(x+y2)=/(X)+2(y)K且/(i)o,则/(2001)=.【解析】令x=y=O,得/(0)=0,令汇="，、=1,得/5+1)=/'(>1)+2|/(1)2令n=1,得/(1)=/(0)+2(1)2=2(1)2,f.(n+l)-(n)=i(n)=p即f(2001)=等.变式1.设函数y=f(x)是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件对任意正数,y,都有/(Xy)=/O)+f(y);当%>1时Ja)<。:/口)=-1.求/(1)Jc)的值；解析：令=y=1,f(l)=f(l)+f(l),./(1)=0,令=y=3,/(9)=/(3)+/(3)=-1-1=-2,且f(9)+f弓)=f(1)=0，得fG)=2.变式2.定义在R上的函数/(),满足对任意,ywR,有/(-y)=f()-(y),且/=IolL求/(0),/(6)的值；解析：令X=N=O,得/(°)=/(°)一/(°),所以/(°)=°,令x=6,”3,得/(63)=/(6)/(3),所以/(6)=2/(3)=2022.变式3.已知函数千(x)定义域为R,f(1)=2,f(x)0,对任意X,yR都有f(x+y)=f(x)f(y),当x>0时,f(x)>1;求f(4)J(16)的值；解析：千(1)=2,f(2)=f(1+1)=f2(1)=4：Af(4)=f(2+2)=f2(2)=16题型二：抽象函数的单调性与奇偶性问题知识再现1:抽象函数的单调性常用单调性定义证明(1)任取1，不£。，且(2)作差f(右)一/(%2)(根据题目给出的抽象函数特征来“构造”出fOD一/(必)此步有时也会用作商法：判断翳与1的大小；f(×2)(3)变形；(4)定号(即判断差/(右)一/02)的正负)；(5)下结论(指出函数f(x)在给定的区间。上的单调性).知识再现2:证明奇偶性，实质就是赋值。分析出赋值规律。1 .可赋值，得到一些特殊点函数值，如f(O),f(1)等，2 .尝试适当的换元字母，构造出X和X,如f(x+y),可令y=x,f(×y),可令y=1等等。3 .通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。例1：已知函数./W定义域为卜1/，若对任意的乂丁目-1，都有/(+y)=W+(j),且>o时，f()<o.(D判断/的奇偶性；(2)讨论/3的区间,l上的单调性;(3)设/=-4,若W-2加+1,对所有x7,l,Tl恒成立，求实数机的取值范围.解析：(1)因为有/(x+y)=(x)+(y),令x=y=O,得/(0)=/(0)+/(0),所以"0)=0,令V=T可得：/(0)=(x)÷(-x)=0,所以/()=-(),所以/为奇函数.(2)由题意设T£王</£1,因为/(X)是定义在T,1上的奇函数，则/(x2)-/()=/U2)÷/(f)=/(*2-Xl)因为X>O时，有/(x)<O,所以/(X2-X)<o,即/(2)<(x)所以X)是在T1上为单调递减函数;(3)因为/&)在-1,1上为单调递减函数，所以/(X)在上的最大值为/(-1)=-/0)=4,所以要使/(%)</-2am+,对所有XWi-I,1m-1,1恒成立,fg(-l)>OU(I) >0w2-2am+1>4,m1-2am-3>0,g(a)=n2-2am-3=-2am+m2-3所以加一3或加> 3.2m÷m2-3>0-2m+n2-3>0变式1：设函数/()对任意的实数X,都有/(+y)=()+(y),且<0时，W<0,7(-1)=-2.(1)求证：/(%)是奇函数；(2)试判断函数/(x)单调性；(3)试问当-2x2时，/(x)是否有最大值或最小值？如果有，求出最值；如果没有，请说出理由.解析：(1)证明：依题意令=y=o,得/(0)=/(0)+/(0),即/(0)=0,令J=T得/(O)=/()+/(T)=O,/(T)=-f(x),，/(X)是奇函数.(2)单调递增函数，理由如下：任取Xi./wR,设X<X2,则为-X2<0,由已知可得/(%-七)<。，V()-()=()+(2)=(i-)<,(j<(2),/(x)在是单调递增函数.(3)有最大值4,最小值-4.由(2)知/S)在区间-2,2上是增函数.又/(一2)=2(T)=-4,/(2)=-/(-2)=4,当一2x2时，max=(2)=4,/(x)min=/(-2)=-4.例2:已知定义域为=(yo,0)U(O,+)的函数/(%)满足对任为/2«-电0川(0,内),都有/(x)=(1)+(x2).(1)求证：/(力是偶函数；(2)设x>l时f(x)<0,求证：/(X)在(0,+8)上是减函数；求不等式(x-l)>(2x)的解集.解析：(1)x1=x2=11(l×l)=(l)+(l),即/(1)=0,取X=/=T得/(1)=/(-1)+/(-1)=0,即/(T)=0,取Xl=X,七=T得/(T)=/(x)+(T)=(x),即/(x)是偶函数./(2)设占>2>0,则%>1,由x>l时，/(x)<0得/五<0,则x2x2JfM=f2=(2)+f-<(2),即/()在(。收)上为减函数，由/(X)是偶函数且在(0,+8)上是减函数，则不等式/(x7)>(2x)等价为X-IWO2x0 得xlX 0 且X 1/°3x2+2x-1>0/(,-)>(2x),k-1I<I2-vII(x-i)2<(2x)2即AYT或;<X<1或x>,即不等式的解集为xx<T或g<x<l或x>l.变式2：已知函数/(K)对于任意实数X,"R恒有/(+y)=()+(y),且当XVO时，<o,又/()=.判断f(×)的奇偶性并证明；求/(%)在区间-3,3的最大值；(3)解关于X的不等式：/(0r2)-2<(ax)-2.解析：(1)/S)为奇函数，理由如下：函数/()的定义域为R,关于原点对称。令x=y=O得：/(0)=2/(0),解得：/(0)=0令V=T得：/(x)+f(-x)=/(0)=0所以/(-X)=-/(x)对任意XWR恒成立所以/5)为奇函数任取占，T2(-,+),且XIVX2则王一工2<0因为当x<0时，/(x)<0所以/(x1-x2)<0,即/(石)+/(-)<0由第一问知，/为奇函数。所以/(f)=-/(W),则)-(9)<o,即fM<fM所以/(X)在火上单调递增，所以/（八）在区间-3,3的最大值为/(3)因为/(T)=-1,/(X)为奇函数所以/=1。令x=y=l得：/(2)=/(1)+/(1)=21,乃2得:/(1+2)=/(1)+/(2)=1+2=3,即/(3)=3(3)因为/(仆2)-2/(幻</(")一2。所以/(公2)_/(幻</(+/(奴)_2=/(工+公)2由(1)可知，/为奇函数，由(2)知，八2)=2。所以/(/)-/(x)</(x+g)-/(2)即/(公2)+/(_工)</。+”)+/(_2)。所以/("2x)v/(x+”2)由(2)可知，/(x)在R上单调递增。所以-<+-2整理得：0r2-(+2)x+2<0,Kp(or-2)(x-l)<0-OO,二 lu(l,+2-2x+2<0,解得：x>l,当<0时，-<0,解集为当 = 2时,2(-1)2<0,解集为 0 ,当 0<<2 时，I>1,解集为卜50<-<,解集为(2,1综上：当。=0时，解集为。,e)，当<OB寸，解集为-oo,ju(l,+oo),当 = 2 时,解集为0,当0<<2B寸，解集为11,：当。>2时，解集为例3:已知函数V=(x)的定义域是夫,对于任意实数机，恒有/(w+w)=(zw)(11),且当x>0时，0<(x)<l.求证：/(x)在K上是单调减函数.解析：丁对于任意实数?，恒有/("?+)=/()，且当x>OB寸，0<(x)<l.令加=1,=0,则/(l)=(l)(0),且由>OB寸，0<(x)<i,(1)>0.(0)=l；设?=X<0,w=-x>0,.(0)=(x)(-x),(X)=.0<(-x)<1,j>1.即当x<0时，有/()>l.即/()>0恒成立,设王<X2,则9-%>0,0<(x2-)<l,)-(1)=-i)+x1-(x1)=(->r1)(x1)-(1)=(Arl)(x2-x1)-l<0,(2)-(x)<0,即/(x2)<(xj,(x)在R上单调递减.变式3:已知定义在R上的函数/(X)对任意实数6都满足S+b)=()(b),且/(I)H0.当>0时，/W>l.(1)求/(0)的值；(2)证明:/(%)在(-如+8)上是增函数；(3)解不等式/(“一2)<息用.解析：(1)因为任意实数,b都满足S+b)=(a)(b),令=l,6=0,则/(1)=/(1)/(0),.(i)o,/(0)=(2)当x<0时，贝-x>0,.(X)(-X)=(x-Af)=/(0)=1,V/(-X)>O,/(x)>0,即xR时，即x)>0恒成立,设任意的AZeR,且x<X2,则>0,'/(W石)>1, f(x2 -x)/U2)/Ui)>l.(x2)>(xl),即/(x)在(-8,+ 8)上是增函数,(3) .,(x-2)<.f(x-2)f(2x-4)=/(3x-6)<1=/(0),由(2)知人力在R上为增函数，.3x-6<0,得：<2f故不等式的解集为(Y,2).例4:已知函数/(力是定义在(0,+¥)上的增函数，/9)=/(力-/V).(1)求/0);(2)求证：/=-();(3)若/(2)=1,解不等式：/()-/(3)2.解析:令=,y=,贝Ld)=/=/-/，解得/(1)=0,令=,，则/(目=1)-/(力，因为/=0,所以/6)=-/(力,因为函数/(、)的定义域为(。什)，所以白。，x>3,因为/j所以'(2),解得/(4)=2,因为x)-()=小(x-3),所以/()-f(±)2,即/x(a3)m(4),因为函数/(x)是定义在(0,+8)上的增函数，所以/x(x-3)(4),即x(x-3)4,即2-3-40,(x-4)(x+l)£0,解得3<x4,X的取值范围为(3,4.变式4:已知定义在区间(0,+)上的函数f(x)满足千上=f(x1)-f(x2),且当x>1时f(x)>0,若f(3)=1.(1)判断f(x)的单调性：(2)解关于X的不等式/(3x+6)+(3>2;X(3)若/(x)-2函+1对所有Xe(0,3,e7,l恒成立，求实数，"./解析：(1)设X>工2>0*>1(XJ-/(工2)=/>时/(x)>0x2kx2/(x)(x2)>0/(xi)>/(2),所以函数为增函数/(2) /(xl)-(x2)=/中令=9,/=3.(9)-(3)=(3"(9)=2,不等式x27/(3x+6)+d)>2转化为/(3x+6)>9)/J(3x+6)>/(9)-/d)=/(9x),由函数为XX增函数可得3x+6>9x>0.0vx<l,不等式解集为(0,1)(3)函数/(x)在Xe(0,3上是递增函数，因此最大值为/(3)=1,所以不等式/(x)-2m+l恒成立转化为zn2-2M+1对所有T,l恒成立，.m2-lam0恒成立，设g(。)=-2也+m2,所以需满足产(八9°二.十"211，解不等式得m或FTIjI2出媒例5：设函数尸/的定义域为R,并且满足/(Xr)=/()-V),且g)=7当>0时，/()<0.(1)求10)的值;判断函数/()的单调性，并给出证明；如果/(X)>/(2x)-2,求X的取值范围；解析：(1)令X=N=O,则/(0-0)=/(0)-0),/./(0)=0；(2)函数/(x)是定义在R上的减函数，设”,/wR,且玉>W,则玉一吃>。，/(x1-x2)=(x1)-(x2),V当x>0时，W<0.(x1-x2)<0,即/(内)一/(工2)<。，/'(再)</'52),，函数/(x)是定义在R上的减函数；(3) Vf(×-y)f(×)-f(y)：./(o-)=(o)-(),又3(o)=o,.()=-(),J函数/()是奇函数，.-y)=()-(y),/()=-MWwpHH+甸J=2,f(x)>f(2x)-2=f(2x)-/(-1)=f(2x+1),又函数/(x)是定义在R上的减函数，.X<2x+1,即%>-1,X的取值范围为X>-1.变式5：定义在R上的函数/(),满足对任意,yeR,有/(-y)=()-/3,且/(3)=1011.求/(O),6)的值；判断/()的奇偶性，并证明你的结论；当x>0时，/(x)>0,解不等式2x-4)>2022.解析：令=y=o,得/(0)=/(0)-/(0),所以/(0)=0,令x=6,y=3,/(6-3)=/(6)-/(3),所以6)=2/(3)=2022.令X=O得，/(0-y)=(0)-(y),即/()=-/(,所以函数/()为奇函数.(3)设%X2eR,且占>工2,则X-9>0,所以/(占-彳2)>°,所以/(芯)-/(2)=/(Xl-X2)>0,故/(x)在R上为增函数，/(2x-4)>2022,等价于/(2x-4)>(6),所以2x4>6,解得：x>5,故不等式的解集为(5,+).例6:已知函数/。)是定义在R上的非常值函数，对任意4、yeR,满足/()=.(1)求/(0),/的值；(2)求证：对任意xc(0,+8)J(x)>0恒成立；(3)若当OVXVl时,<l,求证：函数/()在(0,+8)上是增函数.解析:(1)令y=o可得,对任意的X都有/(0)=()(0),所以/(0)(/3-1)=0又外是非常值函数，故/(O)=。；令y=则对任意的X都有/()=()(i),所以/(x)(l)-l)=0恒成立对任意X成立，故/1=0,/(1)=1,所以/(O)=OJ(I)=I.(2)取=y=7(f>0)则/(4S)=/()/()=/(f)=/2()对任意的Z>0成立，又函数/是定义在R上的非常值函数，故21)>0,/(/)>0,即所以对任意Xe(O,+8),(x)>0恒成立.(3)取XIX2>0,则/(再)-")=(XJ(I-笑?)，又y)=()(y),所以Jx0)>o时，=,2W=(土)<,又由G)>o故fMf()王f(X)/(xj(li"飞)>。,所以当司>2>0时，/(玉)-/(彳2)>°,所以函数/(X)在(0,+8)上是增函数.变式6：已知定义在R上的函数/()满足：对任意的实数x,y均有/(盯)=/()(y),且/(T)=T,当0<x<l且/(x)w(0,l).判断/(x)的奇偶性；判断/(x)在(0,+8)上的单调性，并证明；若对任意公，“2tT,l,eT,l,总有2|/(演)-/(%)上加2-24帆+1恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)奇函数单调递增，证明见详解(3)w-3或m3【分析】(1)根据题意，令V=T,即可判断；(2)根据题意，先证x(0,+),/(x)>0恒成立，再结合定义法，即可证明单调性；(3)根据题意，先根据单调性求出/()的最值，再将原不等式转化为2|/()2-/0#川-2加+1,构造关于。的函数即可求解(1)根据题意，令V=T,得/()=/W(T),因为/(-1)=-1,所以/(T)=-/(耳,故结合定义域可知，/(x)为奇函数.(2)/(X)在(0,+8)上单调递增.证明：由题意，可知(2)=(xx)=(x)(x)=2(x)0,假设玉w(0,+),使得/(x)=0,则3)=)f(y)=0,而当。孙<1时，由题意知0</(盯)Vl,因此矛盾，故VXe(0,+°o),/(x)>0恒成立.设VXe(°,÷00),且占2,则。<“<1,因此xI/(x)(2)=(*)-/W二=fM-fMf型=/(再)"f,x)xJxi/因为。<强<1,且当OCX<1时，/(x)e(0,l),所以1一/五>0,又因为/(m)>0,xlx所以/'(再)1-/>,即/(j>(2),又因为百>42>o,所以/()在(O,+/)上Iv>)单调递增.(3)根据题意，结合(1)(2)可知，/()在卜1上单调递增，因此/(XLC=/=一/(T)=1，/(x)min=L(T)=T,x1,x2-l,l,2(x1)-(x2)2(x)ma-(x)min=4,因为xp2-1,1,2|/($)-/(%2)卜加2-2加+1恒成立，所以4尸_2am+1恒成立，即-Ima+/_30恒成立，令g()=-2m+，-3,贝-1,1,g(4”0恒成立，故gl)Li2_3纳解仔3或加3.例7:已知/(X)定义域为R,对任意“eR都有/(x+y)=(x)+(y)-l,当x>0时，/(x)<l,/(-1)=2.试判断/(X)在R上的单调性，并证明解不等式：/(2-3x-2)+2(x)>4解析：(1)函数/(x)在R上单调递减，证明如下：任取XjR,且气，可得/(x)-(x2)=U)-(x2-jv)+xi=(xi)-i)+(x)-1=1(x2-i),因为吃一芭>。，且>o时，/()<l,所以/(w-菁)<1,所以/(七)一/(工2)>°即/(x1)>(x2),所以/(x)在R上单调递减.(2)令一,得/(2*)=(x)+(x)7,.2(x)=(2x)+l./(2x2-3x-2)+2(x)=(2x2-3x-2)+(2x)+1=(22-3x-2+2x)+2>4./(2-a-2)>2,又/(x)在R上的单调递减且/(-l)=2/(2f-2)>T),2%2-2<T.-l<x<l,即不等式解集为*-g<x<l)变式7：已知/(%)定义域为R,对任意XjGR都有/(+y)=()+/Cy)-I,当>2时，/(x)<0,/(2)=0.(1)求/(-1)的值.(2)试判断/()在R上的单调性，并证明？(3)解不等式：2(+2x)2-(+2x+2)-2<0.解：(1)在/(x+y)=(x)+(y).l中令尸产,得2(1)=(2)",因为/(2)-。所以=5,令-y-°得，2()-()*解得/(o)=,令一/(i)i()-(o)÷即;|)“解得/(O二(2)/(“)在R上单调递减，证明过程如下：设0<x<2,则x+2>2,所以/(x+2)=(x)(2)-l=(x)-1<0所以0<x<2时,/(x)<,又因为X>2时，有/(x)<Q,且/(2)=。，所以>0时，/(x)<,对于巴,当wR,且x<x2,则x2f=，>0,则/-/=/伍)-/伍+，)=/(鼻)-/(4)-/(，)+1=1-/(。因为，>0时，/(0<,所以/-/(XJT-/(。>。，故)>(s),故/(“)在R上单调递减；(3)由题意得/(x'+2"2)=(+2x)+(2)-I=(2x)-I因为2(x'2x)f/(一二一2)2<0所以2(2x)2/(2)KO即2(32x).(32x)1卜0解得g(2x)<l在/(x)G)=("H中，令X=ZFl得，/(1)=(3)1故/(3)=(2)/I=-；故/(3)<尔闭</(0)由(2)可知，/(H在R上的单调递减，故0<+2x<3,解得-3<x<-2或O<x<l,所以原不等式的解集为(T-2)u(0).变式8:若定义在R上的函数/(x)满足：x1,x2?,都有/(xl+x2)=(xl)+(x2)+l成立，/=1且/(x)为R上的增函数，求/(O)的值，并证明0)+为奇函数；解不等式/(-3f+2x)+3(x)>0.(3)若VXWR,PyWR,/_机(2k+力+4叫，+4>3恒成立，求实数机的取值范围.解析：由/(%+)=/(5)+/()+1令石=0,则/(o)=(o)+(o)+解得：/(O)=-I令Xl=X,x2=-x,则/(0)=(x)+(-x)+l=7即/(x)+l=-/(X)-1,xR所以/(x)+l为奇函数解:由/(3+)=/(幻+/仁)+1得/(2x)7=(x)+(x)所以/(2)+()-=()+()+()即3/(')=/(2力+/3-1=/(3%)-2所以/(-3工2+2工)+3/(“)>0等价于/(-3x2+2x)+(3x)-2>0即(-3+5x)>3由&+z)=(xj+(x2)+l,且/(1)=1,令XI=1,Z=I得：/(2)=/(1)+/+1=3所以/(-3/+5%)>3等价于/(-3/+5，>2)又/(x)为R上的增函数所以-3+5x>2,即32-5x+2<0解得：*(l'l)故不等式得解集为：(|,1)解:由(2)知，/(2)=3/x2-m(2xy+)+4my+4>3,eR,”及等价于fx2-m(2xy+y2)+4my+4>f(2)又/(x)为R上的增函数所以/一小(2号+/)+4+4>2即X2-2myx+4my-my2+2>O,xR恒成立所以4n2y2-4×4my-my2÷2)<0(w2+my2-Amy-2v0,yeR恒成立当/+w?=O,即M=O或加=Tzn=O时，不等式变为：-2<0,符合题意机=T时，不等式变为：4尸2v0,即JYg,不符合题意/W2+TW<01当加+?HO时(212(0八解得：-<W<06tn-4×w+wj×(-2)<03综上,实数m的取值范围为：/T一提0例8:定义在。=(-2,0)u(0,2)上的函数/(x),对任意xje,都有3)=(x)+(y)-2,且当OVX<1时，/(x)>2.(1)求/与/(T)的值；(2)证明/(x)为偶函数：(3)判断y=(x)在(0,2)上的单调性，并求解不等式/(2a1)<2.解析：(1)令=y=,则/(1)=2令x=y=,则/(7)=2(2)令y=T,则/(r)=(x)+(T)-2=(x),.()为偶函数.(3)令9=不，X=/,设o<x<工2<2,贝Iy=土且o<y<1；./(1)-(2)=-2X2kx2J/(演)”/卜)在(0,2)上单调递减，又/(x)为偶函数-2<2x-l<-ll<2x-l<2-<x<01<<卜一g<x<O或l<x<)变式9.定义在/=(-2,0)50,2)上的函数/(x),对任意X,yl,都有f(y)=f(X)+f(y)-2;且当O<x<l时，/()>2.(1)求/(T)的值；(2)证明幻为偶函数；(3)求解不等式/(2-l)<2.解：(1)令工=丁=1,贝LXD=2令x=y=T,则/(一1)=2令P=T,则/()=/*)+/(-D-2=/&),.()为偶函数.(3)令W=%,X=X?,W殳O<X<X2<2,W)>,=-JLO<J<1/(x,)-(x2)=-2(x1)>/(x2).y=f(x)在(0,2)上单调递减又/(X)为偶函数一2<2x-1<一1或l<2x-l<2-y<Ar<0l<x<x-y<x<0l<x<-变式10:已知函数/(x),xR,若对于任意实数为，演，都有/(x+jf2)+(x1-2)=2fMf(x2),求证：/(%)为偶函数.证明：令4=0,Xz=X,则/(%)+/(T)=2(0)(x)，令2=°,玉=%，得/(x)+(x)=2(0)(x).由得/(x)+(T)=/(x)+(x),即/(-x)=(x).1/(x)是偶函数.题型三：抽象函数的周期性问题例1:奇函数f(%)定义在R上，且对常数T>0,恒有f(%+T)=/(%),则在区间0,2T上，方程f(x)=0根的个数最小值为.解析函数/(%)是定义在R上的奇函数，故/(0)=0,又f(%+T)=f(%),即周期为7,/(2T)=/(T)=f(O)=O,又由)T)=T+7)=居),-三L(-g=-=0,.=o,故在区间0,27,方程/(%)=。根有=0,g,y,2T,所以个数最小值是5个，例2：/J)是定义在R上的函数，对一切马都有+y)+(x-y)=2)V),且7W(1)求人0);(2)判断函数/S)的奇偶性解析：(1)/(+y)+(Ay)=2(x)3)J(0)h0取X=N=0,则2/(0)=2/2(0),/./(0)=1(2)f(x+)+f(x-y)=2f(x).f(y),取X=O得至lJ(y)+(-y)=2(0)(y),即/(y)=(-y)函数/()为偶函数变式1.已知函数/()满足VX,yeR,f(+y)+f(-y)=f()f(y),0)=,且在区间0,1)上,f()>0恒成立.(1)证明：“幻是偶函数；(2)求/8)；(3)证明：力是周期函数.解析：令=y=0,得/(0)+/(O)=LZ(O)F,因为/(0)>0,所以/(0)=2,令X=0,得/(y)+(r)=(0)3)=2(y),所以f(-y)=3),所以f*)为偶函数.(2)÷=,y=i,则/+/(；)=/(|)/(§，所以吗)=()(,又/(>0,所以/()=1,令=y=g得")+(0)=尸g)=l+2=3,/()=3.在+y)+-y)=("(y)中令=°得/+D+/(XT)=/(刈/(。)二°,所以+1)=寸-1),即+2)=-,所以/(x+4)=-(x+2)=(x),7=4.