凹凸反转（解析版）.docx

凹凸反转凹凸反转问题专题阐述：很多时候，我们需要证明函数/3>O,但不代表就要证明/(©min>0,因为大多数情况下，/'U)的零点是解不出来的.当然，导函数的零点如果解不出来，可以用设隐零点的方法，但是隐零点也不是万能的方法，如果隐零点不行可尝试用凹凸反转.规律方法/>0Og(X)>A(X),如果能够证明g(x)min>力(X)11三,则g(%)>显然成立，很明显，g()是凹函数，4")是凸函数，因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转.凹凸反转与隐零点都是用来处理导函数零点不可求的问题的，两种方法互为补充.1.设函数/(x)=lni,g(x)=a(f_i)_g.(1)判断函数V=""零点的个数，并说明理由；(2)记MX)=g(x)-(x)+,讨论MX)的单调性；(3)若/(x)<g(x)在(l,+)恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)1；(2)0时，MX)在(0,+动递减，。>0时，(力在1),孟J递减,在吉'*°递增；(3)。G°o【解析】1P(1)由题意得：x>0,(x)=-÷->,故/(X)在(0,+8)递增；又/=T,/(e)=l-e,-e=l-J>O,故函数V=/(“在(Le)内存在零点，.y="x)的零点个数是1;11e(2)h(x)=a(x1-1)lnx+e,*+=ax2-a-nxlv,XXeX,(x)=2ax-=-(x>0),当0时,A,(x)<O,MX)在(0,+8)递减,当>0时，由“（力=0,解得：=±（舍取负值）,时，"(x)<0 ,4(x)递减，Xe,+OO时，(x)>0 , MX)递增,+8递综±,心。时,MX）在（。收）递减。时W）在（。&递减,增；(3)由题意得：11-5<2-1)，问题等价于2_)_旧>,-；在(1,4<0)恒成立，设3)=9>"，若记Mx)=e'-ex,则(X)=e'e,X>l时,()>0,K(X)在(LE)递增,K(X)>K(1)=O,即MX)在若"0,由于x>l,故(2-l)-lnx<0,故/(x)>g(x),即当/(x)<g(x)在(l,+)恒成立时，必有00,当。>0时，设(x)=(f7)nA:,+OO , h(x)若自>1,即0<。<；时，由(2)得XdI,言J,3)递减，x递增，故'()<=O，而4志卜0，即存在A=7>，使得")<g()，故O<<T时，f(r)vg(x)不恒成立;若-1,即;时，设S(X)=a(x2-i)_nx,+：,(x)=2ax-+-7-4，7ZaXeAXe由于20rx,且K(X)=e-ex>0,即，<(,1F11t(111x-2+1(x1)C因此s'(x)>x+>；-rz->0,XXXxx故S(X)在递增，故S(X)>s(l)=0,即4;时，/(x)<g(x)在(l,+)恒成立,综上，4cg.+8)时，/(x)<g(x)在(l,+oc)恒成立.2e”2 .设函数/(x)=e'lnx+T,证明/(M>1.【解析】22证明：刈=门门十二1,从而()>l等价于XlnX工.设函数g(x)=xlnx,贝U/(X)=I+ln%,所以当Xe(OT)时，g'")<°:当段百物)时，g'G)>0.故g()在(叫上单调递减，在g+j上单调递增，从而g(x)在(0,+8)上的最小值为二T.设函数MX)=XerT,则"(x)=eT(I-X).所以当XW(0)时，"(x)>0；当xw(l,÷)时，"(x)<0.故力(力在(0,1)上单调递增，在(1,÷)上单调递减，从而(x)在(0,+动上的最大值为=T；因为(X)=MI)=Zu(X),所以当x>0时，g(x)>"(x),即/(x)>1.3 .设函数/(x)=InX+?_X.(1)当。=-2时，求/(力的极值；(2)当=l时，证明：/(x)-*x>0在(0*)上恒成立.【答案】(1)f(力极大值为卜2-3,无极小值；(2)见解析.【解析】(1)当=-2时，/(x)=InX-2一X,/(x)=-+-1=-v2+1,XXxiX1 .当x(0,2)时，(x)>0;当x(2,e)时,(x)<0. /(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减； /在=2处取得极大值/=ln2-3,，(力无极小值；(2)当=l时，/(x)-+x=lnx+l-,下面证InX+'>-r,即证XInX+1>=,设g(x)=xlnx+l,贝(Jg'(x)=l+ln%,在屉)上,g'3<o,g()是减函数；在Q+oc)上，g'G)>°，g()是增函数.所以g()g0=>3,设MX)=P,贝必'(力=e，在(QI)上,AX%)>O,MX)是增函数;在(l,+oo)上,Z(x)<O,在力是减函数,11r所以(x)"(l)=-<1-，所以")<g(x),即<lnx+l,eee111所以XInX+1>0,gpinx+->O,即/(r)-+x>0在(0,也)上恒成立.针对训练1.设函数/(x)=e1g(x)=lnx+2,其中,bwR,。是自然对数的底数.(1)设尸(X)=MX),当=设时,求产(X)的最小值；(2)证明：当=丁乃<1时，总存在两条直线和曲线y=/()与y=g。)都相切;2(3)当时，证明：f(x)>gb.e2 .设函数f(X)=lnx+0.5ax2+x+l.(I)a=-2时，求函数f(X)的极值点；(II)当a=0时，证明xexf(x)在(0,+oo)上恒成立.3 .已知函数f(x)=eX-In(X+a).(1)当。=3时，求/(X)的单调区间与极值；当凡1时，证明：>o.参考答案：1.(1)-"2；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】(1)将“=eI代入解析式，求出产(B的导数，判断出其单调性，即可求出最小值；(2)分别求出曲线N=/a)在点(见式“)处的切线方程，曲线丁=g。)在点51n+加处的em-=-切线,即可得到，再消元转化为("Li)*"-?+。=0,然后证明函(1-m)em=Inw+Z?-1数h(m)=(rn-)eml-n+b有两个零点即可；X2(3)因为/(x)>Mg(x)-b=竺-lnx>O,即证当a>r时,XeG(X)=Q7nx(x>O)的最小值大于0,求导，分类讨论函数Ga)在(05，(l,+co)上都大于X零即可.【详解】(1)由题可得，F(x)=xex-l,则尸(X)=(X+1),当Xe(YOLI)时,尸(X)<0,尸(X)单调递减；当X(-1,+00)时,尸'(X)>0,尸(X)单调递增,当X=T时，尸(X)取得极小值,也是最小值，且最小值为尸(F=-(2)证明：由题可得，f(x)=ex-l,：.f,(x)=ex-t,曲线y=f在点(见em-')处的切线方程为y=尸X+(1-MeFVg(x)=lnx+b,.g，()=l,X，曲线y=g(x)在点(，Inn+b)处的切线方程为y=-x+nn+b-.nem,=令''，则(加一l)e"m+b=0.(1-m)eml=Inn+b-1,令Mni)=(ml)em,m+b,贝此令)=fnemi-1,由(1)得当7<-1时，'(单调递减,且"(M<0,又'=OMVI时,(m)<0,当MVl时,"(w)<0,MM单调递减;当?>1时,/(M>0M(M单调递增.h(h-)=+1>-+1>O,y,h(3-b)=(2-b)e2b+2b-3>2-b)(3-b)+2b-3=b-+0,(1)=-1<O,函数在S-U)和(1,3加内各有一个零点，当=H%<l时，总存在两条直线和曲线)=/(幻与尸g*)都相切.ae"(3)证明:f(x)>xg(x)-b<=>InX>0.XCPX2令G(X)=丝-lnx(x>0),以下证明当白>-7时，G(X)的最小值大于0.Xe-求导得G(X)=德)'-=&一乎'二千.iXXi当0v,I时，G'(x)<0,G(X).G(I)=e>0;当x>l时，Ga)二"2上一X|_a(x-l)令"(x)=d-Hx)=ex+1>0,H(2)=e2-=gg22>0,取飞(1,2)且ax-)ax-)-aa使;>/，即l<f<*7,(Dae2-则HQ)=e'-<e2-e2=0,VW(r)W(2)<0,。)存在唯一零点小w(i,2),即G（八）有唯一的极值点且为极小值点%e(l,2),又G(A0)=-Tnxo,H(x0)=ex°-=0区''(T,G(%o)=TTnX0,XO-IG'(x°) = -1(")2-<0G(%)是(1,2)上的减函数.G()>G(2)=l-ln2>0,G(x)>0.2综上，当>r时，/(x)>Hg(x)一句.e【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数最值的求法，导数的几何意义的应用，以及利用导数研究函数的性质.第一问较简单；第二问通过导数的意义分别求出两曲线的切线，由两条共同的切线可知，对应的切线方程相同且有两组解，进而转化成求证函数存在两个零点；第三问，函数不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，由于含参数，可以分别讨论构造的函数G(X)=9-lnx(x>O)在(0/，(1,÷)上都大于零即可，本题综合性强，难度较大.2.(1)x=l是f(X)的极大值点，无极小值点(2)详见解析【详解】试题分析：(1)求导数判断函数的单调性，通过单调性求极值点；(2)当a=0时构造函数F(X)=xex-f(X)=xex-lnx-x-1r(x>0),只要证明F(x)=0即可.试题解析：(I)由题意得函数的定义域为(0,+8),*.*f(X)=lnx+ax2+x+l,.r(X)=2x÷l=,XX令F(X)>0,解得0<x<l;令F(x)<0,解得x>l,.f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减，Ax=I是函数f(x)的极大值点，无极小值点；(11)证明：当a=0时，f(X)=lnx+x+l令F(X)=xex-f(X)=xex-lnx-x-1z(x>0)rX+1则F'(x)=(xex-I),X令G(X)=XeX7,则G，(X)=(X+1)e'>0,(X>0),函数G(X)在(0,+oo)递增，又G(O)=7<0,G(I)=el>0,存在唯一c(0,1)使得G(C)=0,且F(X)在(O,C)上单调递减，在(C,+8)上单调递增，故F(x)F(c)=cec-Inc-C-I,由G(C)=O,得cec-I=O,得lnc+c=O,F(c)=0,F(X)NF(C)=0,从而证得xexf(X).点睛：在本题(II)的解答中，为了求F(X)的最小值，通过求导得到F(X)=四X(XeX-1),不容易判断F(X)的单调性，故构造G(X)=XeX-1,采用二次求导的方法，在求G(X)零点的过程中遇到了零点不可求的问题，此类问题的解法是利用G(X)的单调性和零点存在定理，判断零点所在的范围，然后理通过整体代换的方法求函数F(X)的最值，这是解决函数综合问题中常用的一种方法.3./在(一生)上单调递减，在g,+)上单调递增；极小值1z无极大值(2)证明见解析【分析】(1)利用导数得出其单调性,进而得出其极值；(2)利用导数证明先证不等式'./+1与工-1.如工，进而得出+1÷-1?ln(x+a)l从而得出了(x)>0(1)"J时，")=eT-ln(x+5,八用=占一十等，22x+-1.注意到V=e-与'二！都是增函数，于是F(X)在(一不，”)上递增，22又rg)=o,故-g<<g时，rax。；故>g时，r>,所以/()在(-；,；)上单调递减，在(；收)上单调递增，当=g时，/*)取得极小值1,/a)无极大值(2)先证不等式e'.x+l与x-L.Jnx,设以x)=e'-l,贝1g'(x)=e'-I=O=X=O,可得Xa)在(YO,0)上单调递减，在(0,÷)上单调递增，.g(x)=e，-x-L.g(O)=O,即e*.x+l;设MX)=XI-InX,则/?'(x)=_，=0=X=,可得力。)在(O,D上单调递增，在(l,y)上单调递减，.(x)=x-nx.A(I)=O,即x-l.Jnx.于是，当a,1时,ex*%-a+X+a-1?ln(.r+a)l注意到以上三个不等号的取等条件分别为：X=。、4=1、x+=l,它们无法同时取等，所以，当41时,e->ln(+),即/(x)>0.【点睛】关键点睛：证明/。)>。时，关键是用到两个不等式e*.x+l与x-L.lnq利用放缩法证明f3)>0